Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Q Caractérisation séquentielle d'une limite.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
40
La contraposée d'une implication
p ==> q est l'implication
(Non q) ==>(Non p).
Preuve
Il existe V E V e (a) tel que:
V XE X, (x EV===} d p(f(x),l) ~ l ===} ll f(x) llP ~ 111 11,, + l).
•
Utilisation de suites pour traduire une limite de fonction
--Pour que/ : X ----+ F admette l pour limite en a(a E X), il faut et il suffit que: pour
toute suite (un)nEN dans X telle que Un----+ a, on af(un)----+ l.
J
noo
noo
.
Preuve
1) Supposons que f admette l pour limite en a, et soit (un )nEN une suite dans X telle que Un -----+ a.
noo
Soit W E VF(l) ; il existe V E VE(a) tel que: 'Vx EX n V,f(x) E W.
Puis il existe N E N tel que : Vn E N , (n ~ N ===} Un E V).
On a alors: Vn E N , (n ~ N ===}Un EX n V===} f(u n ) E W) ,
et donc f (un)-----+ l.
noo
2) Montrons la réciproque par contraposition. Supposons que f n'admette pas I pour limite en a, c'est-àdire:
Non(vw E VF(l), 3V E VE(a ) , 'Vx EX , (x EV===} f(x) E W)).
Il existe donc W E VF(l) tel que: 'VV E VE(a), 3x E X , (x E V et f (x) fj W).
Considérons, pour tout n de N* , V 11 = BE (a; ~) .
On a donc: 'Vn E N*, 3u 11 E X, (u 11 E V 11 etf(u 11 ) fj W).
On voit alors que la suite (un)n EN dans X ainsi construite satisfait:
Un-----+ a et f(u 11 )-f-* l .
noo
1100
Limite suivant une partie
Soient X ,Y E 'lJ(E) telles que Y C X, a E Y, f: X----+ F, l E F.
On dit que f admet l pour limite en a suivant Y si et seulement si la restriction
fi Y def à Y admet l pour limite en a.
On note alors : f (x) ----+ l.
x-+a
xeY
•
Un cas particulier fréquent est Y = X - {a}. Si a est un point adhérent à X dans E tel
que a rt X, on dit que/ admet l pour limite stricte en a si et seulement si/ admet l
pour limite en a suivant X - {a}, c'est-à-dire :
'v'W E VF(l), 3V E VE(X),'v'x EX, ( {: ~ ~ ===} f(x) E w).
On note alors f (x) ~ l.
x ~a
x =faa
Q Caractérisation séquentielle d'une limite.
-0
0
c
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0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
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0
u
40
La contraposée d'une implication
p ==> q est l'implication
(Non q) ==>(Non p).
Preuve
Il existe V E V e (a) tel que:
V XE X, (x EV===} d p(f(x),l) ~ l ===} ll f(x) llP ~ 111 11,, + l).
•
Utilisation de suites pour traduire une limite de fonction
--Pour que/ : X ----+ F admette l pour limite en a(a E X), il faut et il suffit que: pour
toute suite (un)nEN dans X telle que Un----+ a, on af(un)----+ l.
J
noo
noo
.
Preuve
1) Supposons que f admette l pour limite en a, et soit (un )nEN une suite dans X telle que Un -----+ a.
noo
Soit W E VF(l) ; il existe V E VE(a) tel que: 'Vx EX n V,f(x) E W.
Puis il existe N E N tel que : Vn E N , (n ~ N ===} Un E V).
On a alors: Vn E N , (n ~ N ===}Un EX n V===} f(u n ) E W) ,
et donc f (un)-----+ l.
noo
2) Montrons la réciproque par contraposition. Supposons que f n'admette pas I pour limite en a, c'est-àdire:
Non(vw E VF(l), 3V E VE(a ) , 'Vx EX , (x EV===} f(x) E W)).
Il existe donc W E VF(l) tel que: 'VV E VE(a), 3x E X , (x E V et f (x) fj W).
Considérons, pour tout n de N* , V 11 = BE (a; ~) .
On a donc: 'Vn E N*, 3u 11 E X, (u 11 E V 11 etf(u 11 ) fj W).
On voit alors que la suite (un)n EN dans X ainsi construite satisfait:
Un-----+ a et f(u 11 )-f-* l .
noo
1100
Limite suivant une partie
Soient X ,Y E 'lJ(E) telles que Y C X, a E Y, f: X----+ F, l E F.
On dit que f admet l pour limite en a suivant Y si et seulement si la restriction
fi Y def à Y admet l pour limite en a.
On note alors : f (x) ----+ l.
x-+a
xeY
•
Un cas particulier fréquent est Y = X - {a}. Si a est un point adhérent à X dans E tel
que a rt X, on dit que/ admet l pour limite stricte en a si et seulement si/ admet l
pour limite en a suivant X - {a}, c'est-à-dire :
'v'W E VF(l), 3V E VE(X),'v'x EX, ( {: ~ ~ ===} f(x) E w).
On note alors f (x) ~ l.
x ~a
x =faa