1.2 • Limites, continuité
1.2 Limites, continuité
1.2.1
,...,
Rappel de notation :
\JJ X désigne l'adhérence de X dans E.
'(
Rappel de notation :
\J.._. VE(a) désigne l'ensemble des
voisinages de a dans E.
"O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.j,,,J
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u -
Attention: la réciproque est fausse; une
fonction peut être bornée sans être
continue, comme le montre l'exemple
de la fonction caractéristique de Q
dans lR :
XQ : lR ~ JR,
{
] si XE Q
X f----+
.
0 Si Xi, Q
Limites
Soient (E,11-ll E), (F, ll -llF) deux IK-evn, dE (resp. dF) la distance associée à 11 -llE (resp. 11 .llF).
Soient XE ~(E),
a EX, f: X-----+ F, l E F.
On dit que f admet l pour limite en a si et seulement si :
Vt: > 0, 37] > 0, Vx EX , (dE(x ,a) ~ T] ~ dFCf(x) ,l) ~ 8) ,
ce qui revient à :
VW E VF(l), 3V E VE(a), Vx EX n V, f(x) E W.
On généralise aisément cette définition au cas de l'infini :
•Si f : [a; +oo[--+ F (où a E IR) et l E F , on dit que f admet l pour limite en +oo si et seulement si:
\fr > 0 , 3A > 0 , "lx E [a; +oo[, (x ~ A===:} dFCf(x) ,l) ~ s ).
• Si f : E ---+ F et l E F , on dit que f (x) admet l pour limite quand l lx 11 E tend vers +oo si
et seulement si :
Vs > 0, 3A > 0, "lx E E, (l lx ll E ~ A===:} dF(f(x) ,l) ~ s ).
•Si XE ~(E) , a E X,f : X---+ IR, on dit quef admet +oo pour limite en a si et seulement si:
VA > 0 , 317 > 0, "lx EX, (dE(x ,a) ~ 1' / ===:} f(x) ~ A).
Définitions analogues pour -OO.
Unicité de la limite, si elle existe
Si f admet l et l' pour limites en a, alors l = l'.
Preuve
Raisonnons par l'absurde : supposons que f admette l et l ' pour limites en a, et que l ':l l ' . li existe alors
W E VF(l) et W' E VF(l ' ) tels que W n W' = 0 . Puis il existe V E VE(a) et V ' E VE(a) tels que:
{
Vx E X n V, f (x) E w
"lx E X n V', f (x) E W'.
Comme V n V' E VE(a) et que a EX, il existe x 0 EX tel que x 0 EV n V'. On a alors
f(x 0 ) E W n W ' = 0, contradiction .
La proposition précédente montre qu'on peut utiliser un symbole fonctionnel : si f admet l pour limite en a,
on dit quel est la limite def en a , et on note l = lim f (x), ou l = lim f, ouf (x)---+ l, ouf__.,, l .
x ~ a
a
x--+a
a
Sif: X-----+ F admet une limite finie en a (a EX), alorsf est bornée au voisinage
de a, c'est-à-dire :
l
3V E VE(a), 3C E lR+, Vx EX n V, llf(x)llF ~ C.
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