-0
0
c
:J
0
(V)
.--t
0
N
@
.......
J::
O'l
·;::::
>0.
0
u
38
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
O n a, avec des valeurs approchées décima les obtenues par la calculatrice (qui fournit
d'ailleurs directement une valeur approchée décimale de rr ... , et qu i utilise une telle valeur
approchée décimale de rr pour effectuer les calculs suivants ... ) :
u 1 =2sin ' .' .:. = 2
2
u~ ::::: 3, 104569 500
2 . 71:
Il
u2=2 sin -,, ::::: 2,828427125
u 1 :::::3, 141 452775
2u; : : : : : 3, 139 147 570
u'J'::::: 3, 141592577.
3 . 71:
1
u3 = 2 sin 23
::::: 3,061467 459
u;::::: 3, 141 590 393
L'4 = 2
4 sin ; ::::: 3, 12 1445 152
Exercices
1.1.34 Convergence géométrique
O n considère la suite réell e (un)n ~o définie par u 0 = 0 et :
V n E N, Un+ I = ln(2 + u,,).
a) Montrer que (un)n ~o converge vers un réel l.
b) Montrer :
1
V n E N, lun - fi ~ - - 1
•
211Ainsi, la convergence de un vers e est (au moins) géométrique.
1.1.35 Convergence lente
O n considère la suite réelle (un)n ~o définie par u 0 = 1 et :
Vn E N, Un+I = sin u,,.
a) Montrer : Un ~ O.
noo
1
b) On note, pour tout n E N : V,,= 2·
u,,
1
1) Montrer: V.1+1 - V,, ~ -.
11 00
3
2) E n déduire, en utilisant la moyenne de Césaro ou le
lemme de l'escalier (Analyse MPSI, P 3.1, ou un théorème
de sommation des relations de comparaison, Analyse MP
§ 4.3.9):
.Jj
u,, ~ r::·
noo .yn
Ainsi, (u 11 ) 11 converge lentement vers O.
u) ::::: 3, 141 437 717
1.1 .36 Conver gence rapide
On considère la suite réelle (u,.),.~o définie par uo = 1 et :
V n E N, Un+ 1 = u~ e - u.
a) Montrer : u 11 ~ O.
noo
b) Montrer qu'il existe C E ]O; 1 [ tel que :
- c 2" 0 (2
11
)
Un -
e
.
(On pourra utiliser la notion de série, cf. chapitre 4.)
1.1.37 Étudier la suite réelle (un) 11 ~ 1 définie par u 1 E lR+
et :
1
Vn E N* , Un+I = F,; + -.
n
1.1 .38 Soit (un) n~ I la suite réelle définie par u 1 E lR+ et:
Un
1
Vn EN*, Un+I = - + 2·
n
n
a) Mo ntrer : Un ~ O.
1100
b) Établir : u,, ~ 2 .
1100 n
c) Former un développement asymptotique de Un à la précision 0(: 3 ) lorsque l'entier n tend vers l'infi ni.
0
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38
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
O n a, avec des valeurs approchées décima les obtenues par la calculatrice (qui fournit
d'ailleurs directement une valeur approchée décimale de rr ... , et qu i utilise une telle valeur
approchée décimale de rr pour effectuer les calculs suivants ... ) :
u 1 =2sin ' .' .:. = 2
2
u~ ::::: 3, 104569 500
2 . 71:
Il
u2=2 sin -,, ::::: 2,828427125
u 1 :::::3, 141 452775
2u; : : : : : 3, 139 147 570
u'J'::::: 3, 141592577.
3 . 71:
1
u3 = 2 sin 23
::::: 3,061467 459
u;::::: 3, 141 590 393
L'4 = 2
4 sin ; ::::: 3, 12 1445 152
Exercices
1.1.34 Convergence géométrique
O n considère la suite réell e (un)n ~o définie par u 0 = 0 et :
V n E N, Un+ I = ln(2 + u,,).
a) Montrer que (un)n ~o converge vers un réel l.
b) Montrer :
1
V n E N, lun - fi ~ - - 1
•
211Ainsi, la convergence de un vers e est (au moins) géométrique.
1.1.35 Convergence lente
O n considère la suite réelle (un)n ~o définie par u 0 = 1 et :
Vn E N, Un+I = sin u,,.
a) Montrer : Un ~ O.
noo
1
b) On note, pour tout n E N : V,,= 2·
u,,
1
1) Montrer: V.1+1 - V,, ~ -.
11 00
3
2) E n déduire, en utilisant la moyenne de Césaro ou le
lemme de l'escalier (Analyse MPSI, P 3.1, ou un théorème
de sommation des relations de comparaison, Analyse MP
§ 4.3.9):
.Jj
u,, ~ r::·
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Ainsi, (u 11 ) 11 converge lentement vers O.
u) ::::: 3, 141 437 717
1.1 .36 Conver gence rapide
On considère la suite réelle (u,.),.~o définie par uo = 1 et :
V n E N, Un+ 1 = u~ e - u.
a) Montrer : u 11 ~ O.
noo
b) Montrer qu'il existe C E ]O; 1 [ tel que :
- c 2" 0 (2
11
)
Un -
e
.
(On pourra utiliser la notion de série, cf. chapitre 4.)
1.1.37 Étudier la suite réelle (un) 11 ~ 1 définie par u 1 E lR+
et :
1
Vn E N* , Un+I = F,; + -.
n
1.1 .38 Soit (un) n~ I la suite réelle définie par u 1 E lR+ et:
Un
1
Vn EN*, Un+I = - + 2·
n
n
a) Mo ntrer : Un ~ O.
1100
b) Établir : u,, ~ 2 .
1100 n
c) Former un développement asymptotique de Un à la précision 0(: 3 ) lorsque l'entier n tend vers l'infi ni.