On va remplacer k , qui n'est pas connu
exactement, par p,,, qui approche k.
Utilisation du D L9 (0) ,avec la notation
O ,dex !---* sin x lorsquex ~ 0:
X3
XS
X 7
sin x = x - - + - - -
3!
5!
7!
+ O (x
9 ).
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Notons, pour tout n E N* :
Alors, (v,,),,Ew converge vers .f. plus rapidement que (u,,) 11 EN, puisque :
U11 -
f, = Àk
11
+ O(k"' ), V 11 - f, = O(k'" ), lk'I < lkl < 1, À=!= O.
Méthode d'Aitken
Souvent, en pratique, on ne connaît pas k exactement.
U11 + I - u,,
On a, en notant P11 =
, pour n :? 2 :
u,, - u,,_ 1
Àk 11 +
1 -Àk 11 + O(k"')
O(k"
1 )-kO(k"
1
+ 1 )
p -k-k- - - - - - - - -
11
-
)...k 11 -Àk 11 - 1 +0(k 1 • - 1 )
- Àk" -Àk 11 - 1 +0(k 111 - 1 )
-
-0 -
-0 -
O(k'" )
(k'") ((k' )
11
)
-H 1 >- 1 (k-l)+O(k"r- 1 ) -
k 11 -
k
.
En particulier : p,, -----+ k.
1100
Considérons donc la suite (w,, ) 11 ;;, 2 , analogue à la suite (v 11 ) 11 , mais en remplaçant k par p 11 :
Un+I - P11 U11 _
0
__ (U11+ 1 - .f.) - p,, (u,, - f )
Wn =
{,
l - P n
1 - P n
u
11 +
1 + O(k'") - (k + o( ( ~}')(u" + O(k"'- ))
1 - k + o(l)
= O(k
111
).
Alors, la suite (w 11 ) 11 ;;, 2 converge vers .f. plus rapidement que la suite (u 11 ) 11 •
Exemple : Calcul de valeurs décimales approchées de 11
. 11
Notons, pour tout n E N* : u 11 = 2" srn - . On a : u 11 -----+ 11.
2 11
1100
Effectuons un développement asymptotique :
"(Jr l (11) 3
1 (71) 5
l (71) 7 ((71)9))
u -2 - - - -
+- - -- - +o -
Il -
2 11
3 ! 2 11
5 ! 2 11
7 ! 2 11
2 11
Considérons les suites de termes généraux u;,, u;;, u;;
1 définies par la méthode de Richardson
réitérée:
1
u,, =
u,,+ 1 - 4u"
1
1- -
4
1
l 1
Il
U11+I - 42u,,
u,, =
1
1- -
42
1 Il
U~+I - 43u11
u"' ==
Il
1
l - -
43
1
]
1
!
= u ,,+ 1 + 15 Cu 11+ 1 - u" ),
Il
+ 1 ( Il
" )
= u 11+1 63 u,,+ 1 - un .
37