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(V)
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N
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36
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Solution
Conseils
N
(ii) On a, pour tout p = Lan X" E E :
11=0
I
~ 1 ~lan l
Ni(P)=O {::::::} ~a,, +;SJ2n =0
N
{::::::} l.:a 11 = 0 et \ln E {l , ... ,n}, a 11 = 0
n=O
{::::::} V n E { 0, ... , n}, a 11 = 0 {::::::} P = O.
N
N
(iii) On a, pour tous p = L anX", Q = L b11X" :
n=O
ll=Û
I
~
1
~la11+h11I
Ni(P + Q) = ~(a,, +b,,) + ;SJ 211
1
N
1
1 N
1
N lan 1
N Ibn I
~ ~a,. + ~b,, +~ln+~ ln = Ni(P) + Ni(Q).
On conclut : N i est une norme sur E.
n
1
b) • N 0 (X) = - ---+ 0,donc X" ---+ 0 dans (E,N 0 ).
2n nOO
nOO
•Pour n ;?! 1 :
11
1
1
Ni(X - 1) = 11 - l i+ - = - ---+ 0 ,
2 11
2 11 1100
donc X" ---+ 1 dans (E ,N 1 ).
1100
Si les normes N 0 et Ni étaient équivalentes, comme No(X") ---+ 0, on aurait aussi Raisonnement par l'absurde.
1100
Ni (X
11
) ---+ 0, donc X
11 ---+ 0 dans (E, Ni) , contradiction avec X
11 ---+ 1 dans
1100
1100
1100
(E,N 1 ).
Unicité de la limite.
On conclut que les normes N 0 et Ni ne sont pas équivalentes.
Remarquer que, puisque k' est fixé non
nul:
kO(k") = O(k") = O(k"'),
O(k
111 +i) = O(k' k
1
") = O (k
111
)
4) Exemples de méthodes d'accélération de convergence
Soit (un ) 11 eN une suite réelle convergeant vers un réel l.
Supposons que U n - e admette un développement asymptotique de la forme :
U n - e = Àk
11 + O(k"'),
où À, k, k' sont des réels non nul s fixés te ls que : lk' I < lkl < l.
Méthode de Richardson
On a :
u 11 +i - ku,,
(u 11 +i - f,) - k(u 11 - f,)
---- - e = - - - - - - - -
1 - k
1 -k
(u
11 +i + O(k
111 +i )) - k(U" + O (k'"))
- - - - - - - - - - - - - - = O(k"') .
1-k