1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Remarque:
D'après la Prop. 1, toute suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence distinctes est
divergente.
Un exemple de suite ayant deux limites différentes suivant deux normes
On note E le IR -espace vectoriel IR[X].
N
a) Montrer que les applications N 0 , Ni : E -------* IR , définies, pour tout P = L a 11 X
11 E E par :
11= 0
N, (P ) = ~ ~
o
L 2 11'
ll = Û
sont des normes sur E .
b) Montrer :
l
X" -;;;;; 0
X" -------* l dans ( E,N 1 ).
1100
dans (E ,No)
Les normes No et Ni sont-elles équivalentes ?
Solution
a) D'abord, il e st clair que, pour tout P E E, N 0 (P) et N 1 (P) existent.
N
1 ) (i) On a, pour tout À E IR et tout P = L:a 11 X
11 E E:
n=O
N
(ii) On a, pour tout p = Lan X" E E :
n=O
~ lanl
N 0 (P) = 0 {=} L -
= 0 {=} Vn E {O, ... ,N}, a 11 = 0 {=} P =O.
n=O 2 "
N
N
(iii) On a, pour tous P = L a11 X
11
, Q = L b11 X
11 E E :
11=0
11=0
N, (P + Q) = ~ l a11 + b,. I ~ ~ lan I + lb 11 I
o
L
2"
"' L
2"
n= O
n= O
= ~ ~ + ~ ~ = N, (P ) + N, (Q).
L2n
L 2n
0
0
n= O
n= O
On conclut : N 0 est une norme sur E.
N
2 ) (i) On a, pour tout À E IR et tout P = L a 11 X
11 E E :
n=O
Conseils
Les sommations définissant No( P) et
N i (P) ne portent que sur un nombre fini
de termes.
On peut indexer les deux sommations de 0
à N, où N est un entier naturel tel que :
N ~ deg( P ) et N ~ deg (Q) .
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