Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
\JJ Preuve immédiate, par récurrence sur n.
~ Propriété très utile en pratique.
Si une suite (u,, ),, admet deux suites
extraites ayant des limites différentes,
alors (11 11 ) 11 diverge.
~ Propriété très utile en pratique.
-0
0
h Tout entier est pair ou impair.
~
.-t
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
34
Remarques:
1) Pour toute extractrice a, on a : 'Vn E N, a (n) ? n.
2) Si a, r sont des extractrices, alors r o a est une extractrice.
Donc toute suite extraite d'une suite extraite de (u,,)n eN est elle-même extraite de (u,, )n eN·
Si une suite (un)neN dans E converge vers un élément l de E, alors toute suite extraite de (un)nEN converge aussi vers /.
Preuve
Supposons u 11 --+ l, et soit a une extractrice.
1100
Soit e > O. Il existe N E N tel que :
'Vn E N, (n ? N ==> d(u,,,l) ::( e).
On a alors: 'Vn EN, (n ? N ==> a(n) ? a(N) ? N ==> d(ua(n),l) ::( e) ,
et donc Ua(n) --+ l.
noo
•
Remarque: La contraposée de la Proposition 1 précédente permet de montrer que certaines
suites divergent. Par exemple, dans IR usuel ((- 1)"),, eN• diverge, puisque les suites extraites
formées des termes d'indices pairs et d'indices impairs convergent vers des limites différentes, 1 et - 1.
Soient (un)n EN une suite dans E , l E E .
Pour que (un)nEN converge vers /, il faut et il suffit que (u2n )n EN et ( u2n+ 1) n EN
convergent toutes deux vers /.
Preuve
• Un sens résulte de la Prop. 1.
•Réciproquement, supposons U2n----+ let u2n+ I ----+ l .
noo
noo
Soit E > 0 ; il existe N1 ,N2 EN tels que:
{
'V p E N,
'V p EN,
(p ? N1 ==> d(u2p,l) ::( e)
(p ? N2 ==> d(u2p+ 1,l) ::( e)
Notons N = Max(2N 1 ,2N 2 + 1) et soit n E N tel que n ? N. Tl existe p E N tel que n = 2p ou
n = 2p + 1.
Dans le premier cas (n = 2p) , on a 2p ? 2Ni, donc p ? N 1 , d'où d(u,, ,l) = d(u 2 p,l) ::( e .
Dans le second cas (n = 2p + 1), on a 2p + 1 ? 2N 2 + 1 donc p ? N 2 , d'où
d(u,,,l) = d(u2p+1,l) ::( € .
Ceci montre :
u,,--+ l.
noo
Soient (un)nEN une suite dans E, a E E .
•
On dit que a est valeur d'adhérence de (un)nEN si et seulement s'il existe une extractrice a telle que Ua(n) ----+ a.
noo