-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
On peut aussi se ramener à des suites
numériques:
ll(u11 + v,.) - (/ + l')ll ~
ll un - /Il+ llvn - /'Il
et appliquer le théorème d'addition et
le théorème d'encadrement vus dans
Analyse MPSI.
Caractérisation séquentielle des
éléments de l'adhérence.
Exemples d'extractrices les plus usitées:
N--+N, N--+N, N--+N.
pt-->2p
/>t-->2p+ 1
pt-> p2
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
3) Soit & > 0; il existe N,N' EN tels que:
c
[
Vn E N,(n ~ N ===} llun - /Il ~ 2~
'Vn E N,(n ~ N' ===} ll vn - /' Il~ 2)
En notant N 0 = Max(N,N'), on a alors:
1
1
c c
'Vn EN, (n ~ No===} ll Cu11 +v,,)- (l +l )Il~ llu11 -lll + llvn - l 11~2+2 = c).
Donc : u 11 + Vn ----+ l + l' .
noo
4) Il existe M E IR+ tel que :
'Vn EN, llvnll ~ M.
Soit & > 0 ; il existe N E N tel que : 'Vn EN, (
n ~ N ===} l >..111 ~ _&_) ·
M+l
c
Alors: Vn EN, (n ~ N ===} ll>..11vn ll = l >..n l ll vn ll ~ - - M ~ &), et donc À11V11----+ O.
M + 1
1100
5) Preuve analogue à celle de 4 ).
6) Notons, pour tout n de N : et 11 = À 11 - À et w 11 = v 11 - l' , de sorte que et 11 ----+ 0 et w 11 ----+ 0
(cf 3)). On a:
Vn EN, À 11 v 11 =(À+ a 11 )(l
1 + w 11 ) = >..L' + Àw 11 + a 11 v 11 •
D'après 5): ÀWn----+ Ü;
1100
d'après 4) :
On déduit (cf 3)): >.. 11 v 11 ----+ M'.
noo
Ctn Vn ----+ 0.
noo
noo
noo
•
Caractérisation de l'adhérence en termes de suites
Soient x E E, A E l.lJ (E). Pour que x E A, il faut et il suffit qu'il existe une suite
d'éléments de A convergeant vers x.
Preuve
1) Supposons x E A. Pour chaque n de N*, B (x; ~) n A =f. 0 ; il existe donc une suite (a 11 )nEN*
1
d'éléments de A telle que ('Vn E N*, d (x ,a 11 ) < - ) , donc convergeant vers x .
n
2) Réciproquement, supposons qu'il existe une suite (a 11 )n EN d'éléments de A convergeant vers x, et soit
V E VE(x). Il exister > 0 tel que B(x; r) C V ; puis il existe N E N tel que:
r
'Vn EN, (n ~ N ===} d(an,x) ~ 2 < r).
En particulier:
GN+ I E B(x ; r) c V. Ceci montreV n A =f. 0.
Ainsi:
V V E VE(x), V n A =/= 0, d'où (cf. l.l.7 Prop. 2 (ii) p. 27), x E A.
•
........,
Une partie A de E est fermée si et seulement si toute suite à termes dans A et convergeant dans E converge dans A.
3) Valeurs d'adhérence d'une suite
• On appelle extractrice toute application a : N ----+ N strictement croissante.
•Etant donné une suite (un)nEN dans E, on appelle suite extraite de (un)n EN· toute
suite (ua (n) )nEN où a est une extractrice.
33
0
c
::J
0
(V)
......
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N
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..._,
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On peut aussi se ramener à des suites
numériques:
ll(u11 + v,.) - (/ + l')ll ~
ll un - /Il+ llvn - /'Il
et appliquer le théorème d'addition et
le théorème d'encadrement vus dans
Analyse MPSI.
Caractérisation séquentielle des
éléments de l'adhérence.
Exemples d'extractrices les plus usitées:
N--+N, N--+N, N--+N.
pt-->2p
/>t-->2p+ 1
pt-> p2
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
3) Soit & > 0; il existe N,N' EN tels que:
c
[
Vn E N,(n ~ N ===} llun - /Il ~ 2~
'Vn E N,(n ~ N' ===} ll vn - /' Il~ 2)
En notant N 0 = Max(N,N'), on a alors:
1
1
c c
'Vn EN, (n ~ No===} ll Cu11 +v,,)- (l +l )Il~ llu11 -lll + llvn - l 11~2+2 = c).
Donc : u 11 + Vn ----+ l + l' .
noo
4) Il existe M E IR+ tel que :
'Vn EN, llvnll ~ M.
Soit & > 0 ; il existe N E N tel que : 'Vn EN, (
n ~ N ===} l >..111 ~ _&_) ·
M+l
c
Alors: Vn EN, (n ~ N ===} ll>..11vn ll = l >..n l ll vn ll ~ - - M ~ &), et donc À11V11----+ O.
M + 1
1100
5) Preuve analogue à celle de 4 ).
6) Notons, pour tout n de N : et 11 = À 11 - À et w 11 = v 11 - l' , de sorte que et 11 ----+ 0 et w 11 ----+ 0
(cf 3)). On a:
Vn EN, À 11 v 11 =(À+ a 11 )(l
1 + w 11 ) = >..L' + Àw 11 + a 11 v 11 •
D'après 5): ÀWn----+ Ü;
1100
d'après 4) :
On déduit (cf 3)): >.. 11 v 11 ----+ M'.
noo
Ctn Vn ----+ 0.
noo
noo
noo
•
Caractérisation de l'adhérence en termes de suites
Soient x E E, A E l.lJ (E). Pour que x E A, il faut et il suffit qu'il existe une suite
d'éléments de A convergeant vers x.
Preuve
1) Supposons x E A. Pour chaque n de N*, B (x; ~) n A =f. 0 ; il existe donc une suite (a 11 )nEN*
1
d'éléments de A telle que ('Vn E N*, d (x ,a 11 ) < - ) , donc convergeant vers x .
n
2) Réciproquement, supposons qu'il existe une suite (a 11 )n EN d'éléments de A convergeant vers x, et soit
V E VE(x). Il exister > 0 tel que B(x; r) C V ; puis il existe N E N tel que:
r
'Vn EN, (n ~ N ===} d(an,x) ~ 2 < r).
En particulier:
GN+ I E B(x ; r) c V. Ceci montreV n A =f. 0.
Ainsi:
V V E VE(x), V n A =/= 0, d'où (cf. l.l.7 Prop. 2 (ii) p. 27), x E A.
•
........,
Une partie A de E est fermée si et seulement si toute suite à termes dans A et convergeant dans E converge dans A.
3) Valeurs d'adhérence d'une suite
• On appelle extractrice toute application a : N ----+ N strictement croissante.
•Etant donné une suite (un)nEN dans E, on appelle suite extraite de (un)n EN· toute
suite (ua (n) )nEN où a est une extractrice.
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