Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
La convergence d'une suite dans un
produit cartésien d'un nombre fini d'evn
revient à la convergence de chacune des
suites composantes.
i' Attention : la réciproque est fausse :
'QM.I.f1Dt 0 !rfl Suites à valeurs dans un produit fini d'evn
N
Soient NE N*, E1 , ... ,EN des JK-evn, (x11)11EN une suite dans n Ek,
k=I
N
l En Ek; notons, pour chaque n de N, (XJ,71,. .. ,XN,n) = Xn et (/1, ... ,LN)= l.
k=I
On a alors:
l
Xn -----+ l {::::::::} (vk E { 1,. . ., N}, Xk n -----+ 1k) .
noo
' noo
-
Preuve
Il suffit de remarquer : l lxn -11 loo = Max l lxk ,n - lk l l -
1,;;;k,;;;n
2) Propriétés des suites convergentes
•
....
par exemple, ((-1 )")n eN dans lR
Toute suite convergente est bornée.
~ \ il existe des suites bornées divergentes; 11
)
"O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
usuel.
32
- - - - - - - -
Preuve
Supposons Un---+ l ; il existe NE N tel que: Vn E N, (n ~ N ===} d(u 11 ,l) ,,:;; l).
1100
On a donc, pour tout n de N tel que n ~ N :
llunll,,:;; llun -111+111 11,,:;; l+lllll.
En notant M = Max(ll uoll,. .. ,lluNll. 1+1111 1 ), on conclut: Vn E N, lun l,,:;; M.
•
Propriétés algébriques des suites convergentes
Soient (un)nE N,(vn)nEN deux suites dans E, () .. n)nEN une suite dans JK,
l ,/
1 E E,À E lK. On a:
1) Un -----+ l ==::::} l lun 11 -----+ 11111
1100
1100
2) u 11 -----+ o {::::::::} 11 un 11 -----+ o
1100
noo
Un -----+ f l
3)
noo l' ==::::} Un + Vn -----+ l + l'
Vn-----+
noo
1100
4)
1100
==::::} À 11 v 11 -----+ 0
À 11 -----+ 0
}
(vn)n bornée
noo
(Àn)n bornée }
5) V -----+ 0
==::::} Àn Vn -----+ 0
n
noo
1100
Àn-----+ À l
6)
noo l' ==::::} Àn Vn -----+ Àl
1
•
Vn-----+
noo
noo
Preuve
1) Résulte de
Vn EN, lllunll - llllli , , : ; ; llun -/Il.
2) Immédiat.