1.1.9
Méthode : pour montrer qu'une suite
(un )neN converge vers l dans E, on
peut essayer de montrer que la suite
(d(un - l)) 11 eN converge vers 0
dans IR.
Q Raisonnement par l'absurde.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Autrement dit, on ne change pas la
nature d'une suite (convergence,
divergence) si on modifie ses termes
jusqu'à un indice fixé.
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Suites dans un evn
Nous allons généraliser ici certains résultats relatifs aux suites numériques (cf. Analyse MPSI, 3.1).
Soient ( E, 11 -11) un evn, d la distance associée à 11 -11 -
Une suite dans E est une appl.ication de N dans E , souvent notée (u 11 ) 11 eN (ou (u 11 ) 11 ;;, 0 , ou (u 11 )n)
au lieu de u : N -----+ E. On appelle aussi suite dans E toute application de {n EN; n ~ n 0 } dans
n~u(n)
E, où no E N est fixé ; la plupart des notions étudiées ici ne feront intervenir les un qu'à « partir
d'un certain rang ».
1) Convergence, divergence
..
1) On dit qu'une suite (un)nE N dans E converge vers un élément l de E si et seulement si:
'v's > 0, 3N EN, 'v'n EN, (n ~ N => d(un,l) ~ s).
2) On dit qu'une suite (un)nEN dans E converge (dans E) si et seulement s'il existe
l E Etel que (u 11 )nEN converge vers l, c'est-à-dire :
31 E E, 'v's > 0, 3N EN, 'v'n EN, (n ~ N => d(un,l) ~ s).
3) On dit qu'une suite (un)nEN dans E diverge si et seulement si (un)nE N ne converge pas, c'est-à-dire :
'v'l E E, 3 s > 0, 'v' NE N, 3n EN, {
n ~ N
d(un,l) > s
Remarque : (u,,)neN converge vers l si et seulement si la suite numérique (d(u 11 ,l))ne N
converge vers O.
Unicité de la limite, si elle existe
Si une suite (un)nE N dans E converge vers /1 et converge vers /2, alors 11 = l2.
Preuve
Supposons que (u 11 )neN converge vers l 1 et converge vers / 2 , et que / 1 # 1 2 .
l
Notons s = "3d (l 1 ,/2) > 0. Il existe N 1 , N 2 E N tels que :
{
Vn EN,
Vn EN,
En notant N = Max(N 1 , N 2 ), on a :
(n ~Ni ===:} d(u 11 ,l1) ~ s)
(n ~ N1 ===:} d(u 11 ,l2) ~ s).
{
d(uN ,11) ~ S
d(uN , l2) ~s'
d'où d(/ 1 ,/ 2 )::;:; d(/ 1 ,uN) +d(u N, 1 2 ) ::;:; 2s < d(/ 1 ,l 2 ), contradiction.
•
La proposition précédente montre qu'on peut utiliser un symbole fonctionnel : si (u 11 )n eN
converge vers l, on dit que l est la limite de (u 11 )ne N, et on note l = lim Un (ou l = lim Un)
noo
11-> + oo
ou Un-----+ l
(ou u,, -----+ /).
noo
11->+oo
Remarque : Si deux suites coïncident à partir d'un certain rang, alors elles sont de même
nature, c'est-à-dire que la convergence de l'une entraîne la convergence de l'autre et réciproquement.
31