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30
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Cette définition est licite car l'ensemble
{d(a,b); (a,b)E A x 8) est une
partie non vide de IR , minorée par 0,
donc admet une borne inférieure.
Soient A, B deux parties non vides de E ; on appelle distance entre A et B le réel,
noté d(A,B) , défini par: d(A,B) =
Inf
d(a,b).
(a ,b) EA xB
d(x,A) ~ d({x},A)J
En particulier, pour tout x de E et toute partie non vide A de E:
Remarques:
1) L'application ('f}(E) - {0 ))
2 ~ IR peut ne pas être une distance (cf.1.1.1 2) Rem. p. 7) sur
Exercices 1.1.32, 1.1.33.
(A , B) t---+ d(A ,B)
l'ensemble 'f}(E) - {0 }. En effet, il se peut que :d(A ,B) = 0 et A =f. B; exemple:
dans IR usuel, A= IR_ , B = IR+ . De plus, il se peut que: d(A,C) > d(A,B) +d(B ,C)
exemple: dans IR usuel, A =] - oo; -1], B =] - 2; 2[, C = [l; +oo[.
2) Il se peut que :An B = 0 et d(A ,B) = 0 ;exemple :dans IR usuel, A= [-1; 0[,B =]0; l].
Les méthodes à retenir
Distance d'un point à une partie non vide d'un evn
• Utiliser essentiellement l'inégalité triangulaire :
V (a,b ,c) E E , d(a,c) ~ d(a ,b) + d(b ,c)
et la définition de la distance d'un point à une partie non vide A de E :
d(x ,A) = Inf d(x,a).
a E A
• En particulier, avec les notations ci-dessus :
Va E A, d(x,A) ~ d(x,a)
et, pour tout réel k ~ 0 :
(Va E A, k ~ d(x,a)) ===} k ~ d(x , A).
Exercices
-- 1.1.31 Soient E un evn, A,B deux parties non vides de
E , dA:
E ~ IR , dB de même.
x t---+ d(x ,A)
Montrer: dA =dB{=? A= B.
1.1.32 Soient E un evn, A, B deux parties non vides et
bornées de E. Montrer :
diam (AU B) ~ diam (A)+ diam (B) + d(A, B).
1.1.33 Soient E un evn, A ,B deux parties non vides de
E, C, D deux parties de E telles que : A C C CA et
B c D c B. Montrer: d(C,D) = d(A,B).
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Cette définition est licite car l'ensemble
{d(a,b); (a,b)E A x 8) est une
partie non vide de IR , minorée par 0,
donc admet une borne inférieure.
Soient A, B deux parties non vides de E ; on appelle distance entre A et B le réel,
noté d(A,B) , défini par: d(A,B) =
Inf
d(a,b).
(a ,b) EA xB
d(x,A) ~ d({x},A)J
En particulier, pour tout x de E et toute partie non vide A de E:
Remarques:
1) L'application ('f}(E) - {0 ))
2 ~ IR peut ne pas être une distance (cf.1.1.1 2) Rem. p. 7) sur
Exercices 1.1.32, 1.1.33.
(A , B) t---+ d(A ,B)
l'ensemble 'f}(E) - {0 }. En effet, il se peut que :d(A ,B) = 0 et A =f. B; exemple:
dans IR usuel, A= IR_ , B = IR+ . De plus, il se peut que: d(A,C) > d(A,B) +d(B ,C)
exemple: dans IR usuel, A =] - oo; -1], B =] - 2; 2[, C = [l; +oo[.
2) Il se peut que :An B = 0 et d(A ,B) = 0 ;exemple :dans IR usuel, A= [-1; 0[,B =]0; l].
Les méthodes à retenir
Distance d'un point à une partie non vide d'un evn
• Utiliser essentiellement l'inégalité triangulaire :
V (a,b ,c) E E , d(a,c) ~ d(a ,b) + d(b ,c)
et la définition de la distance d'un point à une partie non vide A de E :
d(x ,A) = Inf d(x,a).
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• En particulier, avec les notations ci-dessus :
Va E A, d(x,A) ~ d(x,a)
et, pour tout réel k ~ 0 :
(Va E A, k ~ d(x,a)) ===} k ~ d(x , A).
Exercices
-- 1.1.31 Soient E un evn, A,B deux parties non vides de
E , dA:
E ~ IR , dB de même.
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Montrer: dA =dB{=? A= B.
1.1.32 Soient E un evn, A, B deux parties non vides et
bornées de E. Montrer :
diam (AU B) ~ diam (A)+ diam (B) + d(A, B).
1.1.33 Soient E un evn, A ,B deux parties non vides de
E, C, D deux parties de E telles que : A C C CA et
B c D c B. Montrer: d(C,D) = d(A,B).