1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
1.1.25 Dans IR usuel, on considère
1.1.28 Soient E un evn, A,B deux parties de E telles que
An B = 0. Démontrer:
A - { -
1
- + _!_. (x,n) E .JR+ X w}.
-
x + n 2n'
Fr (AU B) =Fr (A) U Fr (B).
0
-
Calculer A et A .
1.1.26 Soit E un evn.
1.1.29 Soit E = C([O; l]; IR) muni de 11-11 00 ,
a) a) Montrer, pour tous ouverts U, V de E:
A = {f E E; 'v'x E (0; l], f (x) ::j:. 0}.
0
0
0
UnV=UnV.
0
-
/3) En déduire, pour tous fermés F,G de E:
Calculer A et A.
0
0
( F U G)
0 = F n G.
b) Déduire, pour toutes parties A, B de E:
1.1.30 Soient c 0 le C -ev des suites complexes convergeant vers 0, muni de la norme 11 -11 00 , et A l'ensemble des
suites complexes à support fini , c'est-à-dire :
0
0
0
- 0 -
,--_
0
0
AnB =AnB
0
0
0
et A u B =AUE.
1.1.27 Soient E le IR-ev des applications continues de
[O; +oo[ dans lR et F la partie de E formée des applications uniformément continues de [O; +oo[ dans lR .
'v'n E N,(n ~ N ==> Un =0)}.
0 -
Déterminer A, A, Fr (A).
0
Montrer F = 0, E étant muni d'une norme quelconque.
1.1.8
L'ensemble {d(x ,a); a E A} est une
partie non vide de IR, minorée par 0,
donc admet une borne inférieure.
En particulier:
x E A = } d(x ,A) =O.
Mais la réciproque est fausse.
Exercices 1.1.31 .
Distance d'un point à une partie non vide
d'un evn
Soient ( E, 11 -11) un IK -evn, d la distance associée à 11 -11Soient x E E , A une partie non vide de E ; on appelle distance de x à A le réel, noté
d(x,A), défini par:
L
d(x,A) = Inf d(x,a).
aEA
Remarque: Il se peut que d(x,A) ne soit pas« atteinte », c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'élément a de A tel qued(x, A) =d(x ,a) ;exemple:dans !R usuel, A= [O; 1[, x = 2.
Soient XE E et A une partie non vide de E; on a: d(x,A) ~ 0 = x E A. J
Preuve
1) Supposons d(x , A) =O. Soit V E VE(x) ; il existe r E IR+ tel que B(x ; r) C V, puis, comme
d(x,A) = 0 < r, il existe a E A tel que d(x ,a) < r. On a alors: a E B(x ; r) C V et a E A, donc
V n Ai- 0 . Ceci prouve: 'v'V E VE(X) , V n Ai- 0, et donc (cf. 1.1.7 Prop. 2 p. 27), XE A.
2) Réciproquement, supposons x E A. Soit s > 0 ; on a: B(x ; s) n Ai- 0 (cf. 1.1.7 Prop.2 p. 27).
Tl existe donc a E A tel que d(x ,a) < s; d'où d(x,A) ~ d(x ,a) < s.
Ainsi: Vs > 0, 0 ~ d(x,A) < s, et donc: d(x ,A) =O.
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1.1.25 Dans IR usuel, on considère
1.1.28 Soient E un evn, A,B deux parties de E telles que
An B = 0. Démontrer:
A - { -
1
- + _!_. (x,n) E .JR+ X w}.
-
x + n 2n'
Fr (AU B) =Fr (A) U Fr (B).
0
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Calculer A et A .
1.1.26 Soit E un evn.
1.1.29 Soit E = C([O; l]; IR) muni de 11-11 00 ,
a) a) Montrer, pour tous ouverts U, V de E:
A = {f E E; 'v'x E (0; l], f (x) ::j:. 0}.
0
0
0
UnV=UnV.
0
-
/3) En déduire, pour tous fermés F,G de E:
Calculer A et A.
0
0
( F U G)
0 = F n G.
b) Déduire, pour toutes parties A, B de E:
1.1.30 Soient c 0 le C -ev des suites complexes convergeant vers 0, muni de la norme 11 -11 00 , et A l'ensemble des
suites complexes à support fini , c'est-à-dire :
0
0
0
- 0 -
,--_
0
0
AnB =AnB
0
0
0
et A u B =AUE.
1.1.27 Soient E le IR-ev des applications continues de
[O; +oo[ dans lR et F la partie de E formée des applications uniformément continues de [O; +oo[ dans lR .
'v'n E N,(n ~ N ==> Un =0)}.
0 -
Déterminer A, A, Fr (A).
0
Montrer F = 0, E étant muni d'une norme quelconque.
1.1.8
L'ensemble {d(x ,a); a E A} est une
partie non vide de IR, minorée par 0,
donc admet une borne inférieure.
En particulier:
x E A = } d(x ,A) =O.
Mais la réciproque est fausse.
Exercices 1.1.31 .
Distance d'un point à une partie non vide
d'un evn
Soient ( E, 11 -11) un IK -evn, d la distance associée à 11 -11Soient x E E , A une partie non vide de E ; on appelle distance de x à A le réel, noté
d(x,A), défini par:
L
d(x,A) = Inf d(x,a).
aEA
Remarque: Il se peut que d(x,A) ne soit pas« atteinte », c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'élément a de A tel qued(x, A) =d(x ,a) ;exemple:dans !R usuel, A= [O; 1[, x = 2.
Soient XE E et A une partie non vide de E; on a: d(x,A) ~ 0 = x E A. J
Preuve
1) Supposons d(x , A) =O. Soit V E VE(x) ; il existe r E IR+ tel que B(x ; r) C V, puis, comme
d(x,A) = 0 < r, il existe a E A tel que d(x ,a) < r. On a alors: a E B(x ; r) C V et a E A, donc
V n Ai- 0 . Ceci prouve: 'v'V E VE(X) , V n Ai- 0, et donc (cf. 1.1.7 Prop. 2 p. 27), XE A.
2) Réciproquement, supposons x E A. Soit s > 0 ; on a: B(x ; s) n Ai- 0 (cf. 1.1.7 Prop.2 p. 27).
Tl existe donc a E A tel que d(x ,a) < s; d'où d(x,A) ~ d(x ,a) < s.
Ainsi: Vs > 0, 0 ~ d(x,A) < s, et donc: d(x ,A) =O.
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