'
-
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercices 1.1.23 à 1.1.30.
Dans les formules (iv) et (iv'), il y a
seulement, de manière générale, une
inclusion.
Exercices 1.1.20 à 1.1.22.
Les propriétés (i') à (iv') s'obtiennent en passant aux complémentaires dans les propriétés (i) à (iv) :
par exemple : CE ((An B )
0
) = CE(A n B) = CE(A) U CE(B)
- -
- -
0
0
0
0
= CE(A) u CE(B) = CE (A) u CE (B) = CE(A n B ),
0
0
d'où (AnB)
0 =An B.
Remarque:
L'inclusion réciproque dans la propriété (iv) (ou (iv')) peut être fausse, comme le montre
l'exemple :E = IR usuel, A= IR~, B = IR~, An B = 0 = 0 , An B = IR_ n IR+ = {0} .
Une partie A de E est dite dense dans E si et seulement si A = E.
Exemples:
1) Dans IR usuel, IQ et Cit (IQ) sont denses dans IR (cf. Analyse MPSI, 1.2.3 4) et 5 )).
2) IQ
2 est dense dans IR
2 •
Plus généralement, si A c X c E, on dit que A est dense dans X si et seulement si A :::> X.
Les méthodes à retenir
Intérieur, adhérence, frontière
• Pour montrer qu'une partie A d'un evn E est dense dans E (ex. 1.1.20, 1.1.22), montrer l' une des propriétés
suivantes :
A=E
Vx E E, vv E VE(X), V n A# 0
pour tout x E E, il existe une suite (an )n dans A convergeant vers x dans E.
• Pour manipuler adhérence, intérieur, frontière, on essaiera de travailler globalement sur des ensembles (ex.
1.1.21) et on ne se résoudra à faire intervenir les éléments qu'en cas de nécessité (ex. 1.1.16, 1.1.28).
• Lorsqu'il s'agit de déterminer l'intérieur ou l'adhérence d'une partie A d'un evn E (ex. 1.1.29, 1.1.30), le
-o
résultat, souvent simple, pourra d'abord être conjecturé.
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
28
- 1.1.20 Soient E un evn, A E ~ (E); montrer que
AU CE(A) est de nse dans E.
1.1.21 Soient E une evn, A,B E ~ (E); on suppose que
A et B sont denses dans E et que A n B = 0. Montrer :
0
0
A = B = 0 .
1.1.22 Soient E un evn, A,B E ~ (E); on suppose A
ouvert et A et B denses dans E.
Démontrer que A n B est dense dans E.
1.1.23 Donner un exemple de fermés A,B de IR tels que
0
0
0
0
A UB , A U B ,(A U B )
0
, A UB soient deux à deux distincts.
1.1 .24 Donner un exemple de partie A de IR telle que les
14 parties suivantes de IR soient deux à deux distinctes :
0
0
o o o 0
0
m
A,A, A, A ,A, A, A, CE(A), CE(A), CE(A ),CE \A) ,
C, (i) ,C, (i) ,c,( ~ }
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Exercices 1.1.23 à 1.1.30.
Dans les formules (iv) et (iv'), il y a
seulement, de manière générale, une
inclusion.
Exercices 1.1.20 à 1.1.22.
Les propriétés (i') à (iv') s'obtiennent en passant aux complémentaires dans les propriétés (i) à (iv) :
par exemple : CE ((An B )
0
) = CE(A n B) = CE(A) U CE(B)
- -
- -
0
0
0
0
= CE(A) u CE(B) = CE (A) u CE (B) = CE(A n B ),
0
0
d'où (AnB)
0 =An B.
Remarque:
L'inclusion réciproque dans la propriété (iv) (ou (iv')) peut être fausse, comme le montre
l'exemple :E = IR usuel, A= IR~, B = IR~, An B = 0 = 0 , An B = IR_ n IR+ = {0} .
Une partie A de E est dite dense dans E si et seulement si A = E.
Exemples:
1) Dans IR usuel, IQ et Cit (IQ) sont denses dans IR (cf. Analyse MPSI, 1.2.3 4) et 5 )).
2) IQ
2 est dense dans IR
2 •
Plus généralement, si A c X c E, on dit que A est dense dans X si et seulement si A :::> X.
Les méthodes à retenir
Intérieur, adhérence, frontière
• Pour montrer qu'une partie A d'un evn E est dense dans E (ex. 1.1.20, 1.1.22), montrer l' une des propriétés
suivantes :
A=E
Vx E E, vv E VE(X), V n A# 0
pour tout x E E, il existe une suite (an )n dans A convergeant vers x dans E.
• Pour manipuler adhérence, intérieur, frontière, on essaiera de travailler globalement sur des ensembles (ex.
1.1.21) et on ne se résoudra à faire intervenir les éléments qu'en cas de nécessité (ex. 1.1.16, 1.1.28).
• Lorsqu'il s'agit de déterminer l'intérieur ou l'adhérence d'une partie A d'un evn E (ex. 1.1.29, 1.1.30), le
-o
résultat, souvent simple, pourra d'abord être conjecturé.
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
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- 1.1.20 Soient E un evn, A E ~ (E); montrer que
AU CE(A) est de nse dans E.
1.1.21 Soient E une evn, A,B E ~ (E); on suppose que
A et B sont denses dans E et que A n B = 0. Montrer :
0
0
A = B = 0 .
1.1.22 Soient E un evn, A,B E ~ (E); on suppose A
ouvert et A et B denses dans E.
Démontrer que A n B est dense dans E.
1.1.23 Donner un exemple de fermés A,B de IR tels que
0
0
0
0
A UB , A U B ,(A U B )
0
, A UB soient deux à deux distincts.
1.1 .24 Donner un exemple de partie A de IR telle que les
14 parties suivantes de IR soient deux à deux distinctes :
0
0
o o o 0
0
m
A,A, A, A ,A, A, A, CE(A), CE(A), CE(A ),CE \A) ,
C, (i) ,C, (i) ,c,( ~ }