(i) : Caractérisation des
0
éléments de A
(ii) : Caractérisation des
éléments de A.
Propriétés utiles pour les exercices de
calcul sur intérieur et adhérence.
\ "4 Par commodité de notation, (An B )
0
~ désigne l'intérieur de A n B.
0
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1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
b) S'obtient à partir de a) en passant aux complémentaires.
(iii) a) Si A est ouverte, alors
LJ
Q = A, puisque l'indexation de cette réunion prend en
Q ouvert deA
QCA
0
compte A , donc A =A.
0
0
• Réciproquement, si A =A, comme A est un ouvert, A est alors un ouvert.
b) S'obtient à partir de a) en passant aux complémentaires.
-
0
-
0
-
- -
(iv) Fr( A) =A -A =A n CE(A) =An CE(A) est l'intersection de deux fermés.
Soient x E E , A E lf>(E). On a:
0
(i) x E A {:::::::::> A E VE(X)
(ii) x E A{:::::::::> cvv E VE(x),V n A =f. 0) .
Preuve
0
(i) • Supposons x E A : il existe donc un ouvert Q de E tel que Q c A et x E Q.
On a alors : Q E VE(x) et Q CA, et donc A E VE(x).
Réciproquement, supposons A E V E(x) . Il existe r E IR+ tel que B (x; r) C A.
0
0
Alors B (x; r) C
u
Q =A , et donc x E A .
Q ouvert de E
QCA
(ii) x E A{:::::::} x E CE ((CE(A))
0
) {:::::::}Non (3V E V(x), V C CE(A))
{:::::::} ('v'V E V(x), V et. CE(A)) {:::::::} ('v'V E V(x}, V n A =f. 0) .
Pour toutes parties A , B de E, on a :
0
0
0
(i)
A=A
(i')
A =A
0
0
(ii) AcB~AcB (ii' )
A c B~A c B
0
0
(iii) A U B=A U B
(iii' ) (An B)
0 =An B
0
0
(iv) AnB cAn B
(iv') (A U B)
0 ::=> A U B.
Preuve
(i) A est fermée car A est l'intersection d'une famille de fermés.
(ii) Supposons A c B ; B est un fermé contenant B , donc contenant A. Puisque A est
le plus petit fermé de E contenant A , on a donc A c B.
{
A C A U B
{A CAU B
-
-
- -
(iii) • B c A U B ==} B c A U B ==} A U B C A U B.
• A U B est un fermé de E contenant A U B et A U B est le plus petit fermé de
contenant AU B , donc AU B CAU B .
{
A n B cA
{A n B c A
- - -
-
(iv) •
==}
- -
-
==}An B cAn B.
AnBcB
AnBcB
•
27