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26
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
1.1.7
0
A est la réunion de tous les ouverts
de E inclus dans A.
A est l'intersection de tous les fermés
de E contenant A.
Pour toute partie A de E :
0
-
AC AC A.
-
0
Fr( A) = {x E A ; x ~A }
Intérieur, adhérence, frontière
Soient (E , 11.11) un JK-evn, d la distance associée à 11. 11 .
Soit A E >:p (E).
0
1) On appelle intérieur de A, et on note A, la réunion des parties ouvertes deE
incluses dans A :
0
A= U Q.
Q ouvert de E
QcA
Les éléments de A sont appelées les points intérieurs à A.
2) On appelle adhérence de A, et on note A , l'intersection des parties fermées de E
contenant A : A=
n F.
F fermé de E
F-:JA
Les éléments de A sont appelés les points adhérents à A.
3) On appelle frontière de A, et on note Fr( A) la partie de E définie par :
0
-
0
Fr(A) = CA (A) =A -A.
l Les éléments de Fr( A) sont appelés les points-frontière de A .
Pour toute partie A de E :
0
- -
(i) a) CE(A ) = CE(A )
b) CE(A) = (C E(A) )
0
0
(ii) a) A est le plus grand ouvert de E (au sens de l'inclusion) inclus dans A.
b) A est le plus petit fermé de E (au sens de l'inclusion) contenant A.
0
(iii) a) A est ouverte si et seulement si A =A.
b) A est fermée si et seulement si A = A.
(iv) Fr(A) est un fermé de E.
Preuve
(i) a) CE (A) = cE( u Q ) = n CE(Q) = n F = CE (A).
[2 ouvert de E
[2 ouvert de E
F fermé de E
f2CA
f2CA
F:::>CE(A)
b) En app]jquant a) à CE (A) au lieu de A :
CE(A) =CE (CE (C E(A))) =CE (C E ((CE(A))
0
)) = (CE(A))
0
.
0
(ii) a)• A est une réunion d'ouverts, donc est un ouvert
0
• A c A à l'évidence
•Soit Q 1 un ouvert de E tel que Q 1 c A : on a: Q 1 c
u
Q ouvert de E
DCA
0
Q =A.