1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
les méthodes à retenir
Comparaison de normes
• Pour montrer que deux normes N , N ' sur un OC-espace vectoriel E sont équivalentes (ex. 1.1.15, 1.1.17),
lorsque E n'est pas de dimension finie, revenir à la définition (p. 19) ; montrer:
3 (a ,{3) E (lR~)
2
, Vx E E, aN(x) ~ N '(x) ~ f3N(x).
Dans le cas où E est un espace de fonctions et où N et N' font intervenir des intégrales, les inégalités classiques
sur les intégrales pourront s' avérer utiles.
• Pour montrer que deux normes N ,N ' sur un OC-espace vectoriel E ne sont pas équivalentes (ex.1.1.14, 1.1.18,
1.1.19), chercher une suite Un) 11 dans E - {0} telle que :
cf. § 1.1.6 Rem. pp. 20, 21.
Exercices
~
noo
+oo
1.1.14 Soient (a ,b) E IR 2 tel que a < b, E = C([a; b],IR) ,
li .I li , 11. 112, 11.l loo les normes sur E définies par:
11/11 1 = 1b lf(t) ldt ,
b
l
11 !112 = (i lf(t) l
2
dt r
11 / lloo = Sup lf(t) I,
I E [a:bj
cf. 1.1.1 1) pp. 5, 6.
1
1
11 / 11 1 ::::; (b - a)211! 112
a) Montrer : V f E E,
1
11/112 ::::; (b- a)211f lloo ·
b) Démontrer que li .Il i , 11.llz, 11.l loo sont deu x à deux non
équivalentes.
1.1.15 On note, pour tout p = L ak xk E IR[X] (où la
k
somme ne comporte qu'un nombre fini de termes non nul s):
N(P) = L (1 + - 1
-.) la kl·
k
k + 1
a) Montrer que N 1 et N sont des normes sur IR[X].
b) Démontrer que N 1 et N sont équivalentes.
1.1.16 Soit E = C([O; l],IR); pour chaque

note
N f !----+ l' lf

ou
~
1100
+oo
a) Déternùner une CNS sur

b) Déterminer une CNS sur

normes équivalentes.
c) Pour (

que N 1.1.17 Soient E = C 1 ([O; l] ,IR) ,

l'

définies par :
N(f) = l.f(O) I + l' l.f' I, N rp (f) =Il' f

Démontrer que Net N sont équivalentes.
1.1.18 Soient E
l'ensemble
des
applications
f : [O; 1] -----+ IR de classe C 1 sur [O; 1] et telles que
f(O) = 0, N 00 ,N'oo : E-----+ IR les applications définies
par:
NooCf) = Sup l.f(t )I, N 'oo(f) = Sup l.f'(t) I.
I E [O; 1)
IE[O; 1)
Montrer que N 00 et N'oo sont des normes sur E , mais
qu 'elles ne sont pas équivalentes.
1.1.19 Soient p EN*, E = CP([O; l],IR), et, pour tout k
de {0,. .. , p}, Vk : E -----+ IR définie par :
k- 1
Vk(f) = L l.f(i)(O)I + Sup l.f(k)(t) I.
i=O
IE[O: I)
Vérifier que v 0 , .•• , vp sont des normes sur E et les comparer (ici vo = 11 .lloo ).
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