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24
Chapitre 1 · Espaces vectoriels normés
Solution
2) Pour toute f E E, l'application x t----+ (1 - e - lxl) If (x) 1 est bornée sur IR, car
x t----+ 1 - e - lxl est bornée et/ est bornée, donc v(f) existe.
(i ) Comme en 1 ), on a :
V À E IR, V f E E, v(J..f) = IJ..lv(f).
(ii) Soit f E E telle que v(f) = O.
On a alors:
d'où:
VxeIR, (1-e-lxl)l/(x)i= O,
VxeIR*, f(x)=O.
Comme de plus f est continue en 0, on conc lut : f = O.
(iii) Comme en I ), on montre :
V g E E , v(f + g) ~ v(f) + v(g).
On conclut : v est une norme sur E.
b) Considérons, pour tout n EN*:
f,,: IR~ IR, x t----+ f,,(x) = e-nlxl.
Il est clair que: Vn EN*, f,, E E .
Calculons N(f,,) et v(f,,) pour tout n EN*.
1) On a:
N(f,,) = Sup(e-lxle-11 lxl) = Supe-< 11+ l)lxl = 1.
xeR
x ER
2) On a:
v(f,,) = Sup ((l _ e - lxl )e - 11lxl).
xER
Comme l'application x E IR t----+ e - lxl e ]O ; l] est une bijection, on a :
v(f,,) = Sup ( (1 - t)t").
IE ]O : 1)
Notons 11 +
1
•
L 'application V t E [O; l ], On en déduit le tableau des variations de Il s'ensuit :
d'où:
0
+
n
n+ l
6
1
n(t) 0/ ~O
v(f,,) = l l 1 ( n ) "
1
= n+1 n + l
~ n+l·
N( +
-;::;; n
~
OO,
v ( 1100
et on conclut que les normes N et v ne sont pas équivalentes.
Conseils
S'assurer d'abord de l'existence de v(f)
pour toute / E E. On a:
\lx E IR, 0 =::;; 1 - e-lxl < 1.
1 - e-lxl ne s'annule qu'en O.
Pour tout 11 E N*, J,, est continue et bornée.
Cette borne supérieure est atteinte pour
X =0.
Changement de variable, pour la commodité.