1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Solution
On a alors, pour tout x E [0; l] :
lf(x)I =e-xl1x e'g(t)dtl ~ e-x 1 xe' lg(t)ldt
et donc:
lf(x) I ~ 1 lx e lg(t) I dt ~ e fo
1
lgl = e v(f) ,
lf ' (x) I = lg(x) - f(x) I ~ lg(x) I + lf(x)I ~ lg(x) I + e v(f),
puis:
N(f) = fo
1
lf ' I ~ fo
1
(lgl +e v(f)) = fo
1
lg l + e v(f) = (1 +e)v(f).
On a obtenu:
l
V f E E , --N(f) ~ v(f) ~ 2N(f),
l+e
et on conclut : N et v sont des normes équivalentes.
Un exemple de deux normes non équivalentes
Conseils
v(f) = fo
1
If '+ f i = fo
1
lgl.
1
- - et 2 sont des constantes > O.
l+e
On note E Je JR. -espace vectoriel des applications f : lR. ----+ lR. continues et bornées. On note, pour toute f E E :
N(f) = Sup (e - lxll.f(x) I) ,
xelR
v(f) = Sup((l -e - lxl) l.f(xl).
xeR
a) Montrer que N et v sont des normes sur E.
b) Démontrer que les normes N et v ne sont pas équivalentes.
Solution
Remarquons d'abord que E est bien un JR. -espace vectoriel.
a) 1) Pour toute .f E E , l'application x 1--+ e -lxll.f(x) I est bornée sur JR. , car
x 1--+ e - \xi est bornée et .f est bornée, donc N (f) existe.
(i) On a, pour tout À E E et toute .f E E :
N(Àf) = Sup (e - lxl ICV)(x) I) = Sup (IÀ I (e - lx 1 1f (x)I)
xd
x d
= IÀI Sup(e -
1
x
1 lf(x) I) = IÀ INCJ).
x elR
(ii) On a, pour toute f E E :
N(f) = 0 ~ Sup (e -lxllf(x) I) = 0 ~ V x E JR., e -lxllf(x) I = 0
xelR
~ V x E IR, f (x) = 0 ~ f = 0.
(iii) On a, pour toutes f ,g E E :
N(f + g) = Sup (e - lxll (J + g)(x)I) ~ Sup (e - !xi (If (x) I + lg(x) I))
x d
x d
~ Sup (e - \xi If (x) I) + Sup (e - \xi lg(x) I) = N(f) + N(g) .
xeR
xelR
On conclut : N est une norme sur E.
Conseils
S'assurer d'abord de l'existence de N(f)
pour toute/ E E. On a:
\lx E ~. 0 < e- lxl :::=; 1.
IÀI est une constante.
e-lxl ne s'annule en aucun réel.
Inégalité triangulaire dans ~ et propriété
de la borne supérieure.
Propriété de la borne supérieure.
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