-a
0
c
::J
0
(V)
H
0
N
@
......
..c
Ol
"i:
>a.
0
u
22
Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Solution
On conclut : N est une norme sur E.
2) Pour toute f E E, v(f) existe car 1 f' + f 1 est continue sur le segment [O; l].
(i) On a, pour tout À E lR et toute f E E :
v(>..f) = 1
1
l..J)I = 1
1
l>..11!' +fi= 1>..1 1
1
If'+ fi= l>..lv(f) .
(ii) Soit f E E telle que v(f) = 0 , c'est-à-dire 1
1
If'+ fi= O.
Puisque!' + f est continue sur [O; 1], il s'ensuit f' + f = O.
Il existe donc C E lR tel que: 'V x E [O; I], f(x) =Ce -x .
Comme de plus f (0) = 0, on déduit C = 0 , puis f =O.
(iii) On a, pour toutes f,g E E:
v(f + g) = 11 IU + g)' + (f + g)I = 11 IU' + f) + (g' + g) I
~ 1
1
(If' + fi+ lg' + gl) = v(f) + v(g).
On conclut : v est une norme sur E.
b) 1) Soit f E E. On a, pour tout x E [O; 1) , puisque f(O) = 0 :
IJ(x)I = l 1x .f'
IJ'(t)I dt= N(f),
et donc lfl ~ N(f), puis 1
1
lfl ~ N(f).
D'où:
v(f) = 1
1
If ' + fi~ 1
1
(lf'I +Ill)
= 1
1
lf' I + 1
1
Ill = N(f) + 1
1 Ill ~ 2N(f).
2) Soit f E E. Notons g = f' + f.
La solution générale de l'équation différentielle sans second membre y' + y = 0
est y : x t---7 C e - x, C E lR.
Une solution particulière de l'équation différentielle avec second membre
(E) y'+ y = g est de la forme y : x t---7 C(x) e - x, où C est une fonction inconnue, supposée dérivable.
On a:
y' + y= g {=::::} 'V x E [0; 1], C' (x) e -·• = g(x)
{=::::} 'Vx E [0 ; l], C' (x) =eg(x) <:= 'Vx E [0 ; 1), C(x) = 1x e'g(t)dt.
Ainsi, une solution particulière de (E) est y : x t---7 e _, 1x e 'g (t) dt.
JI existe donc C E lR tel que :
'Vx E [O; 1), f(x) = e - x 1x e'g(t)dt +ce-x.
Comme f (0) = 0, on déduit C = 0, et on conclut :
'Vx E [0 ; 1), f(x) = e - x 1x e'g(t)dt.
Conseils
S'assurer d'abord de l'existence de v(f)
pour toute f E E.
IÀI est une constante.
Résolution d'une équation différentielle
linéaire du premier ordre, sans second
membre et à coefficients constants.
Inégalité triangulaire et croissance de
l'intégration.
If 1 est une fonction, N (f) est une
constante.
On va exprimer f en fonction de g, par
résolution d'une équation différentielle
linéaire du premier ordre, avec second
membre.
Méthode de variation de la consta nte, cf.
Analyse MPSI.
L'implication renversée traduit une condition suffisante.
Expression de f à l'aide de g .
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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Solution
On conclut : N est une norme sur E.
2) Pour toute f E E, v(f) existe car 1 f' + f 1 est continue sur le segment [O; l].
(i) On a, pour tout À E lR et toute f E E :
v(>..f) = 1
1
l
1
l>..11!' +fi= 1>..1 1
1
If'+ fi= l>..lv(f) .
(ii) Soit f E E telle que v(f) = 0 , c'est-à-dire 1
1
If'+ fi= O.
Puisque!' + f est continue sur [O; 1], il s'ensuit f' + f = O.
Il existe donc C E lR tel que: 'V x E [O; I], f(x) =Ce -x .
Comme de plus f (0) = 0, on déduit C = 0 , puis f =O.
(iii) On a, pour toutes f,g E E:
v(f + g) = 11 IU + g)' + (f + g)I = 11 IU' + f) + (g' + g) I
~ 1
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(If' + fi+ lg' + gl) = v(f) + v(g).
On conclut : v est une norme sur E.
b) 1) Soit f E E. On a, pour tout x E [O; 1) , puisque f(O) = 0 :
IJ(x)I = l 1x .f'
IJ'(t)I dt= N(f),
et donc lfl ~ N(f), puis 1
1
lfl ~ N(f).
D'où:
v(f) = 1
1
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1
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= 1
1
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1
Ill = N(f) + 1
1 Ill ~ 2N(f).
2) Soit f E E. Notons g = f' + f.
La solution générale de l'équation différentielle sans second membre y' + y = 0
est y : x t---7 C e - x, C E lR.
Une solution particulière de l'équation différentielle avec second membre
(E) y'+ y = g est de la forme y : x t---7 C(x) e - x, où C est une fonction inconnue, supposée dérivable.
On a:
y' + y= g {=::::} 'V x E [0; 1], C' (x) e -·• = g(x)
{=::::} 'Vx E [0 ; l], C' (x) =eg(x) <:= 'Vx E [0 ; 1), C(x) = 1x e'g(t)dt.
Ainsi, une solution particulière de (E) est y : x t---7 e _, 1x e 'g (t) dt.
JI existe donc C E lR tel que :
'Vx E [O; 1), f(x) = e - x 1x e'g(t)dt +ce-x.
Comme f (0) = 0, on déduit C = 0, et on conclut :
'Vx E [0 ; 1), f(x) = e - x 1x e'g(t)dt.
Conseils
S'assurer d'abord de l'existence de v(f)
pour toute f E E.
IÀI est une constante.
Résolution d'une équation différentielle
linéaire du premier ordre, sans second
membre et à coefficients constants.
Inégalité triangulaire et croissance de
l'intégration.
If 1 est une fonction, N (f) est une
constante.
On va exprimer f en fonction de g, par
résolution d'une équation différentielle
linéaire du premier ordre, avec second
membre.
Méthode de variation de la consta nte, cf.
Analyse MPSI.
L'implication renversée traduit une condition suffisante.
Expression de f à l'aide de g .