g Voir aussi 1.2.5 Prop. 2 p. 53.
Exercices 1.1.14à1.1.19.
1.1 ·Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel normé
Soient Q E 0, a E Q; il exister E JR' f_ tel que BN (a ; r) cil.
On a alors B N• (a ; eu) c BN (a; r) c Q. Ceci montre que Q est voisinage de chacun de ses
points dans (E,N' ),donc Q E O ' .Ceci prouve 0 c O' .
En échangeant les rôles de Net N' on obtient l'autre inclusion, et finalement 0 = O ' .
2) Réciproquement, supposons 0 = O' .
On a: B N(O; 1) E 0 c O',donc BN (O; 1) E V(E ,N') (O).
Il existe alors p E JR' f_ tel que B N· (O; p) c B N (O ; 1) .
On a, pour tout x de E - {O} :
N ' ( 2
:(x) x) = ~ < p ===} 2
:,(x) x E B N• (O; p) C B N (O; 1)
===} N ( - p -
x) < 1 ===} !!... N(x) < N ' (x).
2N' (x)
2
Ceci prouve qu'il existe a E JR' f_ (a=~) tel que: "lx E E , aN(x) :::;; N ' (x) .
En échangeant les rôles de Net N' , on obtient l'existence de f3 dans JR' f_ tel que:
\lx E E , N ' (x) ::;; f3N(x).
Finalement, Net N ' sont équivalentes.
Un exemple de deux normes équivalentes
On note E le JR -espace vectoriel des applications f : [O; l] ----+ lR de classe C
1 telles que f (0) =O.
On note, pour toute f E E :
N(f) = 1' lf 'I. v(f) = 1' If'+ f i.
a) Montrer que N et v sont des normes sur E.
b) Démontrer que les normes Net v sont équivalentes.
Solution
Remarquons d'abord que E est bien un JR -espace vectoriel.
a) 1) Pour toute f E E , N (f) existe car 1f '1 est continue sur le segment [O ; l].
(i) On a, pour tout À E lR et toute f E E :
N(Àf) = 1' ICV)'I = 1' IV 'I = 1' IÀllf'I = IÀI 1' lf 'I = IÀIN(f).
(ii) Soit f E E telle que N (f) = 0, c'est-à-dire 1' 1f ' 1 = O.
Puisque f' est continue sur [O; l], il s'ensuit f' = O.
Ainsi, f est constante ; comme de plus f (0) = 0, on conclut f =O.
(iii) On a, pour toutes f ,g E E :
N(f + g) = 1' l(f + g)'I = 1' If' + g'I :::;; 1' (lf 'I + lg'I) = N(f) + N(g).
Conseils
S'assurer d'abord de l'existence de N (f)
pour toute f E E .
i>•I est une constante.
Inégalité triangulaire et croissance de l'intégration.
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