Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
'a Cf.§ 1.1.1 pp.5,6.
D Introduction d'un coefficient -/Ti.
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
20
Autrement dit, deux normes sur E sont
équivalentes si et seulement si elles
définissent les mêmes ouverts.
Exemple:
Les normes li.Ili et 11.lloo sur E = C([O; l], IR) ne
sont pas équivalentes car, en notant, pour tout n
deN*,
fn : [O; 1] ---+ IR
{
n(I-nx)
X t---7
0
six E [0· ! ]
, Il
si XE)~; 1)
on a llJ.,l loo = 2 n---+ +oo.
1 1 J,, l l 1
11 00
y
n
0 ~~~~~~~+
l
n
X
Soient E un IK-evn, N,N' deux normes sur E. Les deux propriétés suivantes sont
équivalentes :
(i) :la E ~+, Vx E E, N'(x) :::;; aN(x)
(ii) Toute suite (xn)n convergeant vers 0 dans (E, N) converge aussi vers 0 dans
(E,N').
Preuve
(i) ===? (ii) :
Supposons qu'il existe a E IR+ tel que : V x E E, N' (x) :::;; a N (x).
Soit (xn)n une suite convergeant vers 0 dans (E, N), c'est-à-dire telle que N (xn) ----* O.
noo
Comme: Vn E N, 0 :::;; N'(xn) :::;; aN(x 11 ) , il en résulte N'(xn) ----* 0,
11 00
c'est-à-dire que (x 11 h converge vers 0 dans ( E, N').
(ii) ===? (i) :
Montrons la contre-apposée, c'est-à-dire : ( non(i)) ===? ( non(ii)) .
Supposons: Va E IR+, 3x E E, N ' (x) > aN(x).
En appliquant cette hypothèse à a = n, pour tout n de N*, il existe u 11 E E tel que :
N
1 (u 11 ) > nN(u,,).
En particulier: Vn EN, u 11 =f:. O.
1
Notons, pour tout n de N*, x 11 = .jïi.
u 11 •
nN(u 11 )
1
N(x 11 ) = '-----* 0, donc (x 11 ) 11 convergeversOdans (E,N).
-yn noo
D'une part:
D'autre part, N'(xn) = N ' (un) > .jïi.,
.jïi.N (u11)
donc (x 11 ) 11 ne converge pas vers 0 dans ( E , N ' ).
Remarque:
•
Soient E un IK-ev, N,N' deux normes sur E, 0 (resp. O') l'ensemble des ouverts de
(E,N)(resp. (E ,N ' )). On a:
N ~ N' {:::::::}0=0'.
En effet:
1) Supposons N ~ N'; il existe (a ,{3) E (IR+) 2 tel que:
Vx E E , aN(x) :::;; N'(x) :::;; {3N(x).