"'O
0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Ainsi, le polynôme P est de degré ~ n et s'annule en n + 1
points deux à deux distincts, donc P = O.
(iii) On a, pour tous P, Q E lR11 [X] :
Il
N(P + Q) = L ICP + Q)(ak) I
k=O
Il
Il
~ L IP(ak)I + L IQ(ak)I = N(P) + N(Q).
k=O
k=O
On conclut: N est une norme sur JR 11 [X].
a) Cf. Analyse MPSI, § 5.4.3 2).
L'inégalité voulue est triviale lorsque a = 0 ou b = 0.
Pour a > 0 fixé, soit Vb > O,
0
+
~ I
0
ou y = (y 1 , ••• ,yn) = 0 est immédiat.
+oo
lxkl
IYkl
.
Appliquer le résultat a) à a= - - et b = - - , puis sommer:
llx ll,,
llyllq
l txkYkl
k=1
t lxk l IYkl
llxllpl lYllq ~ k=I llxllp . llYllq
11
( 1 lxklP
1 IYklq )
~ {; P llxllb + q llYll~
1
p
1
q
= - - P llx llp + - 11
llq llYllq
Pllxllp
q Y q
1
1
=-+-=1.
p
q
n
/3) llx + Yllb = L lxk + Yklp
k=I
Il
~ L(lxkl lxk + Yklp-I + IYkl lxk + Ykl"- 1 )
k=I
~ (~ lxk lp ) ~ (~ lxk + Ykl(p- l)q ) ~
+(~ IYklP ) ~ (~ lxk + Ykl(p-l)q) ~
1
= (llxllp + llYllp) ( ~ lxk + Ykl") -q'
p -E.
d'où llxllp + llYllp ~ llx + Yllp q = llx + Yllp·
c) Les conditions Cllxllp = 0 ===} x = 0)
et l IÀX l lp = l >1.I l lx l lp sont immédiates; l'inégalité triangulaire
est le résultat de b).
d) Pour tout p de ]l; +oo[ :
Il
llx l l~ ~ llxll~ = L lxklp ~ nl lxll~,
k=I
1
d'où: llxlloo ~ llx llp ~ n ï> llx lloo·
1
Comme n ï> ------';> 1, on conclut : l lx l lp ------';> l lx l loo.
p~+oo
p~+oo
a) Vu dans l'exercice 1.1.8 a) p. 10.
b) etc) : comme dans l'exercice 1.1.8 b) et c), en remplaçant
x,y par f,g et t par 1b·
k=I
a
d) Le cas f = 0 étant immédiat, nous supposons 11/1 loo > O.
Puisque 1f1 est continue sur le segment [a ; b], il existe
x 0 E [a; b] tel que lfl(xo) = 11/lloo ·
Soit é > 0 fixé. Comme f est continue en Xo, il existe 11 > 0
b-a
tel que: 17 < -
2
-
et
é
Vx E [a; b] n [xo -11; Xo + 17), lf(x) - f(xo)I < 2·
On a donc, en notant a,/3 les réels tels que
[a; b] n [Xo - 17; Xo + rJ] =[a ; /3) :
s
s
V x E [a; /3], lf(x) I ~ lf(xo)I - 2 = 11/lloo - 2'
d'où, pour toutp de )l; +oo[:
11/11~ = 1b lf(t)I" dt ~ if ! lf(t)I" dt
~ (/3 - a) ( 1 1/lloo - ~r ~ 11 ( 1111100 - ~r'
et donc 11 /l lp ~ 11~ (i l!lloo - D ·
Puisque 17 ~ (11/ lloo - D ~ 1 1/lloo - ~, il exi ste
p 0 E]l; +oo[ tel que: Vp E]l; +oo[,
(P ~ Po ===} 11 ~ ( 11/lloo - ~) ~ 11/lloo - S) ·
On a donc montré :
Vé > 0, 3po E]l; +oo[, Vp E]l; +oo[,
(p ~ Po===} 11 / lloo - s ~ 1 1/llp ~ 11/lloo),
ce qui établit 1 1/llp------';> 1 1/lloo·
p~+oo
• f(Àu + (1 - À)v) = ll(Àu + (1- À)v)a + hll
= llÀ(ua + b) + (1- À)(va + b) ll
~ Àllua + bll + (1- À)llva + bll
= Àf(u) + (1 - À)f(v).
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0
c
::J
0
(V)
ri
0
N
@
...._,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Ainsi, le polynôme P est de degré ~ n et s'annule en n + 1
points deux à deux distincts, donc P = O.
(iii) On a, pour tous P, Q E lR11 [X] :
Il
N(P + Q) = L ICP + Q)(ak) I
k=O
Il
Il
~ L IP(ak)I + L IQ(ak)I = N(P) + N(Q).
k=O
k=O
On conclut: N est une norme sur JR 11 [X].
a) Cf. Analyse MPSI, § 5.4.3 2).
L'inégalité voulue est triviale lorsque a = 0 ou b = 0.
Pour a > 0 fixé, soit Vb > O,
0
+
~ I
0
ou y = (y 1 , ••• ,yn) = 0 est immédiat.
+oo
lxkl
IYkl
.
Appliquer le résultat a) à a= - - et b = - - , puis sommer:
llx ll,,
llyllq
l txkYkl
k=1
t lxk l IYkl
llxllpl lYllq ~ k=I llxllp . llYllq
11
( 1 lxklP
1 IYklq )
~ {; P llxllb + q llYll~
1
p
1
q
= - - P llx llp + - 11
llq llYllq
Pllxllp
q Y q
1
1
=-+-=1.
p
q
n
/3) llx + Yllb = L lxk + Yklp
k=I
Il
~ L(lxkl lxk + Yklp-I + IYkl lxk + Ykl"- 1 )
k=I
~ (~ lxk lp ) ~ (~ lxk + Ykl(p- l)q ) ~
+(~ IYklP ) ~ (~ lxk + Ykl(p-l)q) ~
1
= (llxllp + llYllp) ( ~ lxk + Ykl") -q'
p -E.
d'où llxllp + llYllp ~ llx + Yllp q = llx + Yllp·
c) Les conditions Cllxllp = 0 ===} x = 0)
et l IÀX l lp = l >1.I l lx l lp sont immédiates; l'inégalité triangulaire
est le résultat de b).
d) Pour tout p de ]l; +oo[ :
Il
llx l l~ ~ llxll~ = L lxklp ~ nl lxll~,
k=I
1
d'où: llxlloo ~ llx llp ~ n ï> llx lloo·
1
Comme n ï> ------';> 1, on conclut : l lx l lp ------';> l lx l loo.
p~+oo
p~+oo
a) Vu dans l'exercice 1.1.8 a) p. 10.
b) etc) : comme dans l'exercice 1.1.8 b) et c), en remplaçant
x,y par f,g et t par 1b·
k=I
a
d) Le cas f = 0 étant immédiat, nous supposons 11/1 loo > O.
Puisque 1f1 est continue sur le segment [a ; b], il existe
x 0 E [a; b] tel que lfl(xo) = 11/lloo ·
Soit é > 0 fixé. Comme f est continue en Xo, il existe 11 > 0
b-a
tel que: 17 < -
2
-
et
é
Vx E [a; b] n [xo -11; Xo + 17), lf(x) - f(xo)I < 2·
On a donc, en notant a,/3 les réels tels que
[a; b] n [Xo - 17; Xo + rJ] =[a ; /3) :
s
s
V x E [a; /3], lf(x) I ~ lf(xo)I - 2 = 11/lloo - 2'
d'où, pour toutp de )l; +oo[:
11/11~ = 1b lf(t)I" dt ~ if ! lf(t)I" dt
~ (/3 - a) ( 1 1/lloo - ~r ~ 11 ( 1111100 - ~r'
et donc 11 /l lp ~ 11~ (i l!lloo - D ·
Puisque 17 ~ (11/ lloo - D ~ 1 1/lloo - ~, il exi ste
p 0 E]l; +oo[ tel que: Vp E]l; +oo[,
(P ~ Po ===} 11 ~ ( 11/lloo - ~) ~ 11/lloo - S) ·
On a donc montré :
Vé > 0, 3po E]l; +oo[, Vp E]l; +oo[,
(p ~ Po===} 11 / lloo - s ~ 1 1/llp ~ 11/lloo),
ce qui établit 1 1/llp------';> 1 1/lloo·
p~+oo
• f(Àu + (1 - À)v) = ll(Àu + (1- À)v)a + hll
= llÀ(ua + b) + (1- À)(va + b) ll
~ Àllua + bll + (1- À)llva + bll
= Àf(u) + (1 - À)f(v).
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