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•'v't E JR*,f(t) = ltl ll a + ~ bll ~ + 00,
1
car - b ----+ 0 et a =j:. 0.
f
1---> 'fOO
1) •Si (x,y) E B '(a; r) x B'(b; s), alors
ll(x+y)-(a+ b) ll ~ llx-all+ lly-bll ~ r+s
et donc x + y E B' (a + b; r + s) .
Ceci montre B' (a; r) + B' (b; s) C B' (a+ b; r + s).
0
• Réciproquement, soit u E B' (a + b; r + s) .
1
Considérons
z =--(ru+ s(a + b)), x = z - b,
r+s
y= u -z +b.
On a alors x + y = u et :
llx - ail= llz - (a+ b) ll
1
= --llru + s(a + b) - (r + s)(a + b) ll
r+s
r
r
= - - l lu - (a +b)ll ~ - - r ~ r,
r+s
r+s
et de même: llY - bll ~ s.
D'où u E B'(a; r) + B'(b; s) et l'inclusion voulue.
2) Le cas À=O est immédiat. Si À =j:.O, on a, pour tout x de E:
x E B
1 (Àa; IÀ lr) {::::::::} llx - Àall ~ IÀ lr
d'où l'égalité voulue.
1
I
{::::::::} - x E B (a; r),
À
3) •Supposons qu'il existe x E B' (a; r) n B' (b; s).
Alors:
lla-bll ~ lla-x ll+llx-bll ~ r+s.
•Réciproquement, supposons l la - b l 1 ~ r + s. Le cas a = b
est trivial ; supposons a =F b. Il existe À E [O; 1] tel que :
s
r
1~À~
.
lia - b ll
lia - bll
Notons c =a+ À(b - a). On a:
li a - cil= IÀI lia - bll ~ r, donc c E B'(a; r)
et llb - cil= Il - ÀI llb - ail~ s, donc c E B'(b; s).
Ceci montre: B'(a; r) n B'(b ; s) =F 0.
4) •Supposons B'(a; r) C B'(b; s).
r
Si a =j:. b, considérons c =a+
(a - b).
lia -bll
Commec E B'(a ; r) C B' (b; s), on déduit lie - b ll ~ s, d'où
lla- b ll +r ~ s.
Si a = b, comme E =F {O}, il existe u E Etel que u =F 0 , et
r
comme a+ Mu E B'(a; r) c B'(a; s), on déduit r ~ s.
•Réciproquement, supposons lia - bl 1 ~ s - r. On a, pour tout
x de E:
x E B'(a;r) {::::::::} llx -all ~ r
=> llx - bl l ~ llx -ail+ lia -bll ~ s
====> x E B
1 (b ; s),
et donc: B'(a; r) C B'(h; s).
5) Se déduit de 4).
Pourtoutx deE-{a}:
r
/
I
a+
(x - a) E BN (a; r) = BN (a; r)
N 1 (x-a)
1
2
=>Ni (
r
(x - a)) ~ r
N1(x-a)
=> Ni(x - a) ~ N 1 (x - a),
et de même N1 (x - a) ~ N 2 (x - a),
d'où N 1 (x - a)= N 2 (x - a).
Comme x 1------+ x - a est une bijection de E dans E , on
conclut N 1 = Nz.
•Si (x,y) E (B'(a; r))
2 et t E [O; 1], alors:
ll(tx + (1 - t)y) - ail= llt(x - a)+ (1 - t)(y - a)ll
~ tllx - a il+ (1 - t)llY - ail
~ tr + (1 - t)r = r,
et donc tx + (1 - t)y E B' (a; r).
Ceci montre que B'(a; r) est convexe.
•Si (x,y) E (B(a; r))2 ett E [0; l], on a déjà (cf. ci-dessus):
ll(tx + (1- t) y) - ail~ tllx - ail+ (1 - t) llY - ail ~ r.
Si ll (tx + (1- t)y) - ail= r,
{
t l lx - a l 1 = tr
alors
(1 - t) llY - ail= (1 - t)r
et donc t = 0 et 1 - t = 0, contradiction .
Donc tx + (1 - t)y E B(a ; r).
a)• Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à Ill et 1:
11111~ = (1b lfCt) I dry
~ (1b 1
2
dt) (1b lf(t)l
2
dt)
= (b - a)llfll~.