-0
0
c
:J
0
(V)
ri
0
N
@
......,
..c
Ol
'i:
>0.
0
u
Chapit.-e 1
1) Soit N une norme sur R
Ona:
V x E IR, N(x) = N(x · 1) = lxlN(l).
En notant a= N(l) E IR~, on a donc:
V x E IR, N(x) = alx!.
2) Réciproquement, il est immédiat que, pour tout a E IR~, l'application
est une norme sur IR.
Réponse : Les normes sur IR sont les applications
IR ---+ IR, x 1---+ a lxl, a E IR: .
Unicité: si N convient, alors: Vx E E, N(x) = d(O,x).
Existence : montrer que N : E ---+ IR
est une norme sur
x 1---+ d(O,x)
E et que:
V(x ,y) E E
2 ,
d(x ,y) = N(x - y) .
On peut remarquer que la condition 1) est superflue :
d(y,x) = d(O,x - y) = 1 - 1 ld(O,(- l)(x - y ))
= d(O,y - x) = d(x ,y).
Les conditions N(x) = 0 {=::} x = 0
et N(x +y)~ N(x) + N(y) sont immédiates.
Par y = 0 dans (iii): N(ÀX) ~ IÀ IN(x).
Alors, si À =f. 0: N(x) = N (~(Àx)) ~ l~I N(ÀX),
d'où aussi N(h) ~ IÀIN(x) et finalement:
N(f..x) = IÀ IN(x).
Vérifications immédiates:
p
p
• N(f..x) = L:CXkNk(ÀX) = LaklÀINk(X) = IÀIN(x)
k=I
k=I
• N(x) = 0 {=::} (Vk E {l,. .. , p}, akNk(x) = 0)
===} (3k E {l,. .. , p}, Nk(X) = 0) ===}X = 0,
car (a 1 ,. •• ,ap) =/. (0,. .. ,0)
p
• N(x +y)= LakNk(X +y)
k=I
p
~ Lak(Nk(x) + Nk(y)) = N(x) + N(y).
k=I
Les conditions N(ÀX) = IÀIN(x )
et N(x +y) ~ N(x) + N(y) sont immédiates.
p
Et: N(x1, .. .,xp) = 0 {=::} LXkfk = 0,
k=I
puisque 1 ~ Xk fk 1 est continue et ~ 0.
Enfin:
( V(x 1,. .. ,xp) E IRP,
( f,xkfk = O ===} (x1,. .. ,xp) = (0,. .. ,o)))
k=I
{=::} (fi, ... , fp) libre, par définition.
Réponse : N est une norme si et seulement si (f 1 , ••• , fp) est
libre dans E.
Les conditions N(f..x) = IÀIN(x)
et N(x +y) ~ N(x) + N (y) sont immédiates. Et:
N(x) = 0 {=::} llf(x)ll F = 0 {=::} f(x) =O.
Enfin: (vx E E , (j(x) = 0 ===} x = 0))
{=::} Ker(f) = {O}.
Réponse : N est une norme si et seulement si f est injective.
(i) On a, pour tout À E IR et tout P E IR 11 [X] :
n
n
N(ÀP) = L l<À P)(adl = IÀI L IP (ak)I = IÀIN( P).
k=O
k=O
(ii) Soit P E IR 11 [X] tel que N(P ) =O. On a:
Il
N(P)=O {=::} L I P(ak)l =O
k=O
{=::} V k E {0, .. .,n}, P(ak) = 0.
0
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N
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......,
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Ol
'i:
>0.
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Chapit.-e 1
1) Soit N une norme sur R
Ona:
V x E IR, N(x) = N(x · 1) = lxlN(l).
En notant a= N(l) E IR~, on a donc:
V x E IR, N(x) = alx!.
2) Réciproquement, il est immédiat que, pour tout a E IR~, l'application
est une norme sur IR.
Réponse : Les normes sur IR sont les applications
IR ---+ IR, x 1---+ a lxl, a E IR: .
Unicité: si N convient, alors: Vx E E, N(x) = d(O,x).
Existence : montrer que N : E ---+ IR
est une norme sur
x 1---+ d(O,x)
E et que:
V(x ,y) E E
2 ,
d(x ,y) = N(x - y) .
On peut remarquer que la condition 1) est superflue :
d(y,x) = d(O,x - y) = 1 - 1 ld(O,(- l)(x - y ))
= d(O,y - x) = d(x ,y).
Les conditions N(x) = 0 {=::} x = 0
et N(x +y)~ N(x) + N(y) sont immédiates.
Par y = 0 dans (iii): N(ÀX) ~ IÀ IN(x).
Alors, si À =f. 0: N(x) = N (~(Àx)) ~ l~I N(ÀX),
d'où aussi N(h) ~ IÀIN(x) et finalement:
N(f..x) = IÀ IN(x).
Vérifications immédiates:
p
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• N(f..x) = L:CXkNk(ÀX) = LaklÀINk(X) = IÀIN(x)
k=I
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• N(x) = 0 {=::} (Vk E {l,. .. , p}, akNk(x) = 0)
===} (3k E {l,. .. , p}, Nk(X) = 0) ===}X = 0,
car (a 1 ,. •• ,ap) =/. (0,. .. ,0)
p
• N(x +y)= LakNk(X +y)
k=I
p
~ Lak(Nk(x) + Nk(y)) = N(x) + N(y).
k=I
Les conditions N(ÀX) = IÀIN(x )
et N(x +y) ~ N(x) + N(y) sont immédiates.
p
Et: N(x1, .. .,xp) = 0 {=::} LXkfk = 0,
k=I
puisque 1 ~ Xk fk 1 est continue et ~ 0.
Enfin:
( V(x 1,. .. ,xp) E IRP,
( f,xkfk = O ===} (x1,. .. ,xp) = (0,. .. ,o)))
k=I
{=::} (fi, ... , fp) libre, par définition.
Réponse : N est une norme si et seulement si (f 1 , ••• , fp) est
libre dans E.
Les conditions N(f..x) = IÀIN(x)
et N(x +y) ~ N(x) + N (y) sont immédiates. Et:
N(x) = 0 {=::} llf(x)ll F = 0 {=::} f(x) =O.
Enfin: (vx E E , (j(x) = 0 ===} x = 0))
{=::} Ker(f) = {O}.
Réponse : N est une norme si et seulement si f est injective.
(i) On a, pour tout À E IR et tout P E IR 11 [X] :
n
n
N(ÀP) = L l<À P)(adl = IÀI L IP (ak)I = IÀIN( P).
k=O
k=O
(ii) Soit P E IR 11 [X] tel que N(P ) =O. On a:
Il
N(P)=O {=::} L I P(ak)l =O
k=O
{=::} V k E {0, .. .,n}, P(ak) = 0.