9.5 · Formes différentielles
On « intègre » par exemple dans (l) par rapport à x, et on obtient (six varie dans un intervalle) :
F(x,y) = f P(x ,y)dy + G(y)
où G est de classe C
1 à une variable.
En reportant dans (2), on se ramène à une équation différentielle G' (y) = S(y), où S est une fonction que l'on calcule (d'une variable : y).
On « intègre» dans cette égalité par rapport à y, et on obtient ainsi (si y varie dans un intervalle) :
G(y) = f S(y)dy + H ,
où H est une constante (ex. 9.5.1 a), b), 9.5.4).
2) Si w est fermée sur U et si U n'est pas étoilé, il se peut que w ne soit pas exacte sur U. On recouvrira U par une
réunion d ' un nombre fini d' ouverts étoilés (si c'est possible), on intégrera w sur chacun de ces ouverts étoilés,
puis on étudiera le raccord des primitives obtenues.
3) Si w n' est pas fermée sur U, on cherchera, si l'énoncé y invite, un facteur intégrant pour w, c'est-à-dire une
application

1 telle que la forme différentielle w 1 définie sur U par :
w 1 (x,y ) = soit fermée sur U, ou soit fermée sur un ouvert U 1 inclus dans U et différant « peu » de U.
La détermination de

permettant de ramener le problème à la résolution d'une équation différentielle.
La nouvelle forme différentielle w 1 est alors fermée sur U (ou U 1 ) et on est ramené au 1) ou au 2) pour w 1 au lieu
de w (ex. 9.5 .1 c) àf), 9.5.2).
Exercices
9.5.1 Etudier les formes différentielles suivantes, à deux
variables : w est-elles fermée? exacte ? Si oui, calculer les
primitives de w ; si w n'est pas fermée, chercher un facteur
intégrant w1 : (x,y) ---+ rp(x ,y)w(x ,y) soitfermée ;w1 est-elle exacte?
Si oui, calculer les primitives de WJ.
2x tan y
1 + tan 2 y
a)
dx -
dy
(l + x2)2
1 + x2
b) (xln(x
2 + y
2 ) - y ) dx + ( y ln(x
2 + y
2 ) - x ) dy
c) (cos (x +y)+ sin (x +y)) d x + cos(x +y) dy,

d) y (l - xy ) dx +(y - x) dy, rp(x,y) ne dépendant que
de y
e) ( x 2 +y2+2x) dx +2y dy, rp(x,y) ne dépendant
que de x
f) 2x (y - 1) dx - (x 2 - 1) dy, rp(x,y ) ne dépendant que
de x.
9.5.2 a) E tudier la forme différentielle w définie par
y+ lnx - 1
x ln x
w(x,y) =
dx + - 2
- dy,
y
y
en cherchant un facteur intégrant ne dépendant que de x.
b) E n déduire les solutions sur ]l; +oo[ de l'équation différentielle: xy' lnx - y(1 - lnx) + y 2 =O.
9.5.3 Trouver une application Q : JR 2 - { (0,0)} ---+ JR,
de classe C
1
, telle que la forme différentielle w définie par
X
w(x ,y) = 2 2 dx + Q(x ,y) dy
X +y
soit exacte sur JR 2 - { (0,0)} , et calculer alors une primitive
de w sur JR 2 - {(0,0)}.
9.5.4 Montrer que la forme différe nti elle w définie par :
x 2 - YZ
w(x,y,z) =
dx
x(x + y)(x + z)
y 2 - zx
z 2 - xy
+
dy +
dz
y(y + z)(y + x)
z(z + x)(z +y)
est exacte sur (JRi ) 3 et calculer ses primitives.
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