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550
Chapitre 9 • Fonction s de plusieurs variables réelles
Solution
D'après le théorème de Poincaré, puisque w 1 est fermée sur l'ouvert U et que U est
connexe par arcs, w 1 est exacte sur U.
Ainsi, w 1 admet au moins une primitive F sur U, et les primitives de w 1 sur U sont
les F + C, C E ~.
On a w1 = dF, c'est-à-dire:
(1)
1
a F
x
2 +y
2 +2xy
ax (x,y) = P,(x ,y) =
(x + 1)2
\f(x,y) EU,
aF
x(x+2y)
ay(x,y) = Q,(x ,y) = (x + 1)2
(2).
On intègre (2) par rapport à y :
F (x )= f x(x+2y)d = x2y + xy2 +G(x) = y (x2+xy) + G(x)
,y
X+ 1
y
X+ 1
X+ 1
X+ 1
'
où G :] - 1 ; +oo[ ~~est de classe C
1 •
aF
On calcule alors - :
ax
aF
(2x+y) (x+ l)-(x
2 +xy)
,
x
2 +2x+y
,
8x"(x,y) = y
(x + 1)2
+ G (x) = y (x + 1)2 + G (x).
On reporte dans (1) :
a F
x
2 y + y
2
+ X y
\f(x ,y) EU, 8x"(x,y) = (x + l ) 2
~ \f X E ] - 1 ; +oo[, G'(x) = 0
~ 3 CE R \f x E] - 1 ; +oo[, G(x) = C.
On conclut : les primitives de w 1 sur U sont les applications :
xy(x + y)
F: U ~ ~, (x ,y) f---+ F(x ,y) =
+ C, CE K
x+l
Les méthodes à retenir
Formes différentielles
Conseils
y
- l 1 0
Il est clair que U, qui est un demi-plan
ouvert, est connexe par arcs.
X
Dans cet exemple, il paraît plus simple d'intégrer (2) par rapport à y plutôt que d'intégrer (1) par rapport à x.
• Pour étudier une forme différentielle w sur un ouvert U de JR
2 définie par :
\f(x,y) EU, w(x,y) = P (x,y) dx + Q (x,y) dy.
on pourra utiliser le plan d'étude suivant.
]) S .
c
,
u · , d. · 0 P 0 Q · u , ·1 , d' , 1 h, , d P · , d
1 w est 1ermee sur , c est-a- ire s1 -
= - , et s1 est et01 e, apres et eoreme e omcare, w a met
ay
ax
des primitives sur V. On cherche donc les applications F : V -----+ IR de classe C
1 sur V telles que :
l
oF = p
ox
oF
- =Q
oy
(l)
(2).