Solution
Notons P , Q : R
2 -----+ R les applications définies, pour tout (x ,y) E R
2 , par:
1
P(x ,y) = y(x
2 +y+ 2x) = x
2 y + y
2
+ 2xy
Q(x,y) = (x
2 + x)(x + 2y) = x
3 + 2x
2 y + x
2
+ 2xy,
de sorte que :
'v'(x,y) E R
2 , w(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Les applications P et Q sont de classe C
1 sur l'ouvert R
2 et, pour tout (x, y) E R
2 :
aP
-(x,y) = x
2
+ 2y + 2x ,
ay
aQ
-(x,y) = 3x
2
+ 4xy + 2x + 2y.
ax
aP
aQ
Il est clair que -
-::/= -
, donc w n'est pas fermée sur IR
2 •
ay
ax
b) 1) Notons P 1 , Q 1 : U -----+ R les applications définies, pour tout (x, y) E U , par :
P 1 (x ,y) = P(x,y) Q 1 (x ,y) = Q(x,y)rp(x),
de sorte que :
'v'(x,y) EU, w 1 (x,y) = P 1 (x, y)dx + Q 1 (x ,y) dy.
On a, pour tout (x,y) E U:
1
aP,
aP
a_y(x,y) = ay(x,y)rp(x)
aQ,
aQ
,
~(x,y) = ~(x,y)rp(x) + Q(x ,y)

donc:
aP,
aQ,
,
(aQ
aP
)
a_y(x,y) = ~(x,y) {::::::::} Q(x ,y)

{::::::::} (x
2
+ x)(x + 2y) 2 + 4xy) {::::::::} (x
2
+ x)(x + 2y) {::::== (x + l) Ainsi, pour que w 1 soit fermée sur U, il suffit que :
'v' x E] - l; +oo[, (x + l) La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre sans
second membre est donnée par :
2
- ctx) =À exp ( - 21n (x + l))= À 2
, À ER.
X+ 1
(X+ 1)
De plus, on a alors : 1
L'application

2
convient.
(x + 1)
2) On a donc, pour tout (x,y) E U:
x
2 y + y
2
+ 2xy
x(x + 2y)
w,(x,y)=
(x+l)2
dx+
x+l dy ,
et w 1 est fermée sur U.
9.5 • Formes différentielles
Conseils
Plus précisément, par exemple:
aP
aQ
- {1,1) =5, -
{1,1) =Il.
ay
ax
On a déjà calculé a p (x, y) et a Q (x, y)
ay
ax
ena).
Utilisation d'une condition suffisante.
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