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Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Preuve : (pouvant être omise en première lecture)
p
Notons A J ,. .. ,Ap les coefficients de w: V x E U, w(x) = L Aj (x) d Xj,
j=I
et a= (a1,. .. ,ap) E U tel que U soit étoilé par rapport à a.
Considérons F : U -----+ IR définie par :
F(x)= f
1
f,(xj -aj) Aj(a+t(x -a))dt.
lo j=l
Nous allons montrer que F est une primitive de w sur U.
p
Intervention du théorème de dérivation
sous le signe fo 1 •
L'application F : (t ,x 1 ,. • .,xp) t----+ L (xj - aj )A j (a + t (x - a)) est définie sur [O; 1] x U,
j= I
continue par rapport à (x 1 ,. • .,xp), continue par morceaux (car continue) par rapport à t, et vérifie HDL
(cf. la Remarque du§ 3.5.1 p. 189).
D'après le théorème de dérivation sous le signe fo 1, l'application F est de classe C
1 sur U et :
\li E {l ,. .. ,p ), \lx= (XJ,. . . ,Xp) EU,
aF
Jo1 (
"
aA)
- . (x) =
Ai(a + t(x -a))+ L(Xj - aj)t -
1
(a+ t(x - a)) dt.
ax,
Q
J=I
ax,
Puisque w est fermée sur U et en utilisant une intégration par parties, on obtient, pour tout i de { 1, ... , p}
et x = (x1,. .. ,xp) de U :
Exercices 9.5.1 à 9.5.4.
f
1
( f cx 1 -aj)taAj (a+t(x-a)))dt = f
1
(fcxj -aJ)taAi (a+t(x-a)))dt
Jo j=l
ax,
Jo j= I
axl
=[tAi(a+t(x-a))]~-fol Ai(a+t(x-a))dt=Ai(x)-fo
1
Ai(a+t(x-a))dt,
aF
etdonc-(x) = Ai(x).
axi
Ainsi, F est une primitive de w sur U, et w est exacte sur U.
Exemple d'étude d'une forme différentieHe avec intervention d'un facteur intégrant
On considère la forme différentielle w définie sur IR
2 par :
V (x,y) E IR
2 , w(x,y) = y(x
2 +y+ 2x) dx + (x
2 + x)(x + 2y) dy.
a) Est-ce que w est fermée sur IR
2 ?
b) Déterminer une application cp :] - 1 ; +oo[ -----+ IR de classe C
1
, telle que cp(O) = 1 et telle que la forme différentielle w 1 ,
définie sur U =] - 1 ; +oo[xIR par: w 1 (x,y) = cp(x)w(x,y), soit exacte, et calculer alors les primitives de w 1 sur U.
•