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Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
l?r.oblème
P 9 .1 Fonctions homogènes
Les fonctions homogènes interviennent dans plusieurs contextes issus de la
Physique.
• On appelle cône (ou : cône positif) de IR" toute partie
C de IR" telle que :
V x E C , VÀ E IR~, ÀX E C .
Le lecteur pourra rencontrer des variantes de cette définition, par exemple :
V X E C, \I)... E IR, ÀX E C.
• Soient C un cône de IRP, et E IR , f : C -----+ IR une application. On dit que f est et -homogène (ou : et -positivement
homogène) si et seulement si :
V x E C, \/). E IR~, f(ÀX) = Àcx f(x).
Ici aussi, le lecteur pourra rencontrer des variantes de cette
définition, par exemple (si et E f::I) :
V x E C , ' Il est clair que, si f # 0 et si f est et-homogène et et' -
homogène, alors et = et' . Si f # 0 et si f est et-homogène,
et est appelé le degré de f.
Une application f : C -----+ IR est dite homogène si et seulement s'il existe et E IR tel que f soit et -homogène.
1) Exemples
Vérifier que les applications suivantes sont homogènes et
préciser leurs degrés :
a) f : C -----+ IR ,
(x ' y )t---+ y1Y=X
où C = {(x ,y) E IR 2 ; y - x ? 0}
b) f: C -----+ IR , où C = IR 2 - {(0,0)}
(x ,y)t---+ +--i
X +y
c) f :
C -----+ IR
{
1 si xy= O
(x ,y)t---+ 0
si xy, où C = IR 2 - {(0,0)}.
2) a) Condition d'Euler
La condition d'Euler est l'outil principal dans l'étude des fonctions homogènes.
Soient C un cône ouvert de IR P , et E IR, f : C -----+ IR une
application de classe C 1 sur C. Démontrer que f est et -
homogène si et seulement si :
fJ
\lx= (x1 , ... ,x p) E C, l:xd; ,(x) = etf (x).
i= l
On pourra à cet effet étudier

b) Soient C un cône ouvert de IR 2 , et E IR , f : C f---+ IR de
classe C 2 . Montrer que, si f est et-homogène, a lors :
V(x,y) E C,
x
2 1;; cx ,y) + 2xyf;~ cx ,y) + y
2 1;; cx ,y)
= et(et - l)f(x ,y) .