9.2.U Résoudre les EDP2 suivantes, d'inconnue
f : U ~ IR de classe C 2 sur l'ouvert U indiqué, à l'aide du changement de variables fourni :
2 a 2 f
2 a 2 f
af
af
a)
x -
-y -
+x - -y - =0
ax2
ay2
ax
ay
,
b)
U = CIR+) 2 , {
u = lnx
V= lny
a 2 f i af
2 a 2 f _
-
- - - - 4x -
- 0, U = IR+ x IR,
ox2
X OX
ay2
{
u = x 2 - y
V= x 2 +y"
9.3 · Extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles
9.2.14 On considère l'EDP2 :
(E)
r(l + q 2 ) - 2spq + t(1 + p 2 ) = 0,
,
af
af
a 2 f
a 2 f
a 2 f
ou p = ax' q = ay ' r = ax2 ' s = axa y ' t = ay2 ,
f : Ua ~ IR l'inconnue de classe C 2 sur
Ua = {(x ,y) E IR 2 ; x 2 + y 2 > oh, a E IR+ fixé.
Trouver les solutions de (E) de la formef(x,y) = cp(p)
où p = Jx2 + y2 et

9.3 Extremums des fonctions numériques de
\ ] ) ~~~:~n~;:;:~sér~~1,~~esdansce§
9
.3 plusieurs variables réelles
9.3.1
Définitions
\ 1 Dans ce contexte, au lieu de« local »,on
\._.:;....r dit aussi« relatif ».
~ '7 \ Rappel de notation :
q ...;..; ViR" (a) est l'ensemble des voisinages
::J
o
de a dans JR''.
(V)
......
~ ~
'"
@~
"
....., _
..c O' l
.~-al
~ -~
>- ~
o.~
0 "'
Us
<::
ï5.
g
ë
..c:
Q.
j
-g
<::
"
0
@
Nous reprenons ici les définitions vues dans Analyse MPSI, § 11.5.
Soient XE ~(Il~.P), a EX, f: X-----+ IR .
1) On dit que f admet un maximum local en a si et seulement si :
3 VE VJRP(a), Vx EX n V, f(x) ~ f(a).
2) On dit quef admet un minimum local en a si et seulement si:
3 V E VJRP(a) , Vx EX n V , f(x) ;:?: f(a).
3) On dit que f admet un maximum local strict en a si et seulement si :
3 VE VJRP(a) , V XE (X n V) - {a}, f(x) < f(a).
4) On dit que f admet un minimum local strict en a si et seulement si :
3 VE VJRP(a), V XE (X n V) - {a}, f(x) > f(a).
5) On dit quef admet un extremum local en a si et seulement sif admet un maximum local en a ou un minimum local en a.
6) On dit que f admet un extremum local strict en a si et seulement si f admet un
maximum local strict en a ou un minimum local strict en a.
533