'
•
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-0
0
c
::J
0
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
534
Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
9.3.2
Il s'agit donc seulement d'une
implication .
En pratique, on sera donc amené à
résoudre le système de p équations à
p inconnues (x1 , ... ,xp) :
V j E {I, ... ,p},
J; (x 1 , ... • xp) =O.
J
9.3.3
Pour (a,b) fixé, lorsque t décrit
(O; I ], a+ th décrit le segment
[a ; x l de JRP. Considérer étudier la restriction de fà [a ; x ].
Étude à l'ordre 1
Ici aussi, nous reprenons l'étude effectuée dans Analyse MPSI, § 11.5.2.
Soient u E \.lJ(ffi'.P ) , a E U,f : u ~ IR'. .
U est un ouvert de JR'.P
f admet en a un extremum local
les dérivées partielles premières de f en a existent
alors : V j E { 1, ... , p}, J; .(a) =O.
J
Preuve
Il suffit de remarquer que chaque application partielle f (a 1 , ••• , a j- 1 , • , a j + 1 ,. •• , ap) de f en a (où
on a noté (a1, ... ,ap ) =a) est définie sur un voisinage de aj, admet un extremum local en aj et est
dérivable en aj, d'où (cf. Analyse MPSI, 5.3.2 Th.) :
•
Soient U un ouvert de JR' .P, a EU, f: U ~IR'.. On dit que a est un point critique de (ou pour)fsi et seulement si les dérivées partielles premières def en a existent et sont nulles.
Le théorème précédent montre que, si f admet des dpp sur U, alors les points en lesquels f
admet un extremum local sont parmi les points critiques de f.
Étude à l'ordre 2
1) Théorème de Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction numérique
de classe C
2
Dans une première lecture, on pourra directement passer à l'énoncé de ce théorème.
B (a ; r )
\
,
'
,'
1
1
'
1
1
' ' ' '
'
X \
(/ / \
/
,
1
1
I
I
u
Soient U un ouvert de IRP, a E U,
f : U ----+ IR de classe c 2 .
Il exister > 0 tel que B(a; r) CU.
Soit x E B(a ; r) ; notons
(a1,. .. ,ap) = a ,(h1,. .. ,hp) = h = x - a,
et considérons cp : [O; 1] ----+ IR
t ~ f(a +th)
• Il est clair que cp est de classe c 2 sur [0; l] bien que le théorème de 9.2.2 p. 523 ne s'applique
pas ([0 ;1] n'est pas un ouvert de IR ) ; il suffit en effet de remplacer [0 ;1] par [-8; 1+8] pour
un 8 > 0 convenable, comme dans la preuve de l'inégalité des accroissements finis, 9.1.5 Th.
p. 509.
•
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Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
9.3.2
Il s'agit donc seulement d'une
implication .
En pratique, on sera donc amené à
résoudre le système de p équations à
p inconnues (x1 , ... ,xp) :
V j E {I, ... ,p},
J; (x 1 , ... • xp) =O.
J
9.3.3
Pour (a,b) fixé, lorsque t décrit
(O; I ], a+ th décrit le segment
[a ; x l de JRP. Considérer étudier la restriction de fà [a ; x ].
Étude à l'ordre 1
Ici aussi, nous reprenons l'étude effectuée dans Analyse MPSI, § 11.5.2.
Soient u E \.lJ(ffi'.P ) , a E U,f : u ~ IR'. .
U est un ouvert de JR'.P
f admet en a un extremum local
les dérivées partielles premières de f en a existent
alors : V j E { 1, ... , p}, J; .(a) =O.
J
Preuve
Il suffit de remarquer que chaque application partielle f (a 1 , ••• , a j- 1 , • , a j + 1 ,. •• , ap) de f en a (où
on a noté (a1, ... ,ap ) =a) est définie sur un voisinage de aj, admet un extremum local en aj et est
dérivable en aj, d'où (cf. Analyse MPSI, 5.3.2 Th.) :
•
Soient U un ouvert de JR' .P, a EU, f: U ~IR'.. On dit que a est un point critique de (ou pour)fsi et seulement si les dérivées partielles premières def en a existent et sont nulles.
Le théorème précédent montre que, si f admet des dpp sur U, alors les points en lesquels f
admet un extremum local sont parmi les points critiques de f.
Étude à l'ordre 2
1) Théorème de Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction numérique
de classe C
2
Dans une première lecture, on pourra directement passer à l'énoncé de ce théorème.
B (a ; r )
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1
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Soient U un ouvert de IRP, a E U,
f : U ----+ IR de classe c 2 .
Il exister > 0 tel que B(a; r) CU.
Soit x E B(a ; r) ; notons
(a1,. .. ,ap) = a ,(h1,. .. ,hp) = h = x - a,
et considérons cp : [O; 1] ----+ IR
t ~ f(a +th)
• Il est clair que cp est de classe c 2 sur [0; l] bien que le théorème de 9.2.2 p. 523 ne s'applique
pas ([0 ;1] n'est pas un ouvert de IR ) ; il suffit en effet de remplacer [0 ;1] par [-8; 1+8] pour
un 8 > 0 convenable, comme dans la preuve de l'inégalité des accroissements finis, 9.1.5 Th.
p. 509.