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532
Chapitre 9 • Fonction s de plusieurs variables réelles
Solution
Ainsi:
On intègre par rapport à u, pour v fi xé :
(E) {:::::::} g;, = (1 + v)u + A(v),
où A : IR~ ---+ IR est de classe C
2 •
Puis, on intègre encore par rapport à u, pour v fixé :
u 2
(E) {:::::::} g(u,v) = (1 + v) 2 + A(v)u + B(v),
où B : IR~ ---+ lR est de classe C
2 .
On conclut que la solution générale de (E) est donnée par :
1cx.y) =(1 +~) x; +xA(n+sG).
où A, B : IR~ ---+ lR sont de classe C
2 .
Les méthodes à retenir
Conseils
On peut autoriser un mélange temporaire
des letttres x,y, u, v pour la commodité du
calcul.
Retour en (x,y).
Exemples de résolution d'équations aux dérivées partielles d'ordre :S; 2
• Pour résoudre une équation aux dérivées partielles du second ordre (en abrégé : EDP2), on essaiera de se
ramener aux équations fondamentales (§ 9.2.5 1) p. 528) sur un pavé ouvert :
a2 f
* - = g où g est connue
ax 2
az f
* - - = h où h est connue,
axa y
en utilisant, en général, un changement de variables fourni par l'énoncé (ex. 9.2.13). Voir aussi la rubrique « Les
méthodes à retenir » sur les exemples d'EDPl, p. 520.
* En notant f la fonction inconnue des variables x,y dans l'énoncé, u,v les nouvelles variables, et
F(u , v) = f(x,y), on sera en général amené à calculer les dérivées partielles premières et secondes de f en fonc.
.
af
af
tlon de celles de F. On commencera par expnmer - et - :
ax
ay
{
af = aF au + aF av
ax
au ax
av ax
af
aF au
aF av
- = - - + - - ,
ay
au ay
av ay
a
2 f a
2 f a
2 f
a F a F a
2 F a
2 F a
2 F
puis on exprimera ax2 , axay' ay2 (si nécessaire) en fonction de a;;· --a;;· au2' auav' av2 ' x,y,u,v.
Ne pas oublier de revenir à l'inconnue f à la fin de l'étude.