On reporte, dans l'EDP de l'énoncé, les
a
2 f
.
va leurs de - 2
, ... en fonction
ax
a2F
d e -
2
,. . .
au
9.2 • Dérivées partielles successives
Ainsi, f est solution sur U de l'EDP2 proposée si et seulement si F est solution sur U de
a
2 F
- -
2
= 0 , obtenue après simplifications.
au
a2p
La solution générale sur U de - - 2 = 0 est, d'après 1) a) p. 528,
au
F: (u ,v) f----+ A(v)u + B(v) , où A,B: ffi. -----+ ffi. sont de classe C
2 .
V?J, Cf. aussi P 9.1 p. 552 (fonctions
lJJ homogènes).
La solution générale de l'EDP2 proposée est donc f : (x, y) f----+ A ( ~) x + B ( ~) ,
où A, B : ffi. -----+ ffi. sont de classe C
2 .
Exercices 9.2.13 à 9.2.14.
Exemple d'EDP2
Trouver toutes les applications f : (IR~)
2 -----+ IR de classe C
2 telles que :
y
en utilisant le changement de variables défini par: u = x, V= - .
X
Solution
1) Étude du changement de variables
Notons u = (IR~) 2 et : u -----+ U, (x,y) 1----+ (X, ~), qui est de classe C 2 sur
l'ouvert U.
On a, pour tout (x,y) EU et tout (u,v) EU :
(u,v) ~ (x,y) => {::;
{
X= U
{::::::}
y = U V •
Ceci montre que est bijective et que :
1
: U -----+ U, (u , v) 1----+ (u ,uv) ,
~
donc 1 est de classe C
2 sur U.
c
::i
On conclut que est un C
2 -difféomorphisme de U sur U.
0
2) Résolution de (E)
Notons g = f o 1 , c'est-à-dire: g : U -----+ IR, (u, v) 1----+ g(u, v) = f (x,y).
L'application g est de classe C
2 sur U et on a aussi f =g o .
On a, par calcul de dérivées partielles premières d'une fonction composée :
1
f ' 1 + !' 1 f ' + f '
g,, = x xu
yYu = x
y v ,
puis:
Il
!" 1 + !" 1 + (j" I + !" 1 )
g,,2 = x2Xu
xyYu
yx xu
y2 Y,, V
2
= ! " + 2vf" + v
2
f'~ = !'~ + 2~!" + Lj'~.
x 2
xy
xX xy
x2 yConseils
Mise en place du changement de
variables : on va montrer que est un c 2 -
difféomorphisme.
Le principe général d'une résolution
consisterait à calculer les dérivées partielles
secondes de f en fonction de g et à tout
reporter dans (E). Ces calculs seraient
plutôt longs. On peut conjecturer que la
nouvelle EDP2 portant sur g soit assez
simple, d'où le calcul de g;; 2 , par exemple.
Utilisation du théorème de Schwarz:
531