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522
Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Par exemple, pour
f:(x ,y) ~ f(x, y ),
et sous réserve d'existence:
D12f(a) = ~ (ôf) (a)
ôy ôx
a2 f
'
= ôyôx (a) = (!;)y (a)
= J;~(a).
9.2.2
Addition et loi externe pour les fonctions
de classe C k.
Dans ce cas, l'élément _a_(· .. ( af ) ... ) (a) de rn?.n est noté Dï 1 ... ik f(a), ou
3Xjk
3Xj 1
akf
- - - - - ( a ) , OU f;~~ . . Xik (a), et appelé dérivée partielle eme de/ en li par
axik ... axi1
rapport aux places i 1 , ••• , i k successivement.
2) L'application a f-----+ Di 1 ... itf(a) (qui est définie sur une partie de U) est
appelée fonction dérivée partielle k ème de f par rapport aux places i 1 , ••• , i k
•
,
ak f

successivement, et notee Di l···ikf, ou a .
a . ' oufx; I ... X;k·
x,k ... x, 1
Applications de classe ck sur un ouvert
Soient U un ouvert de fitP,f : U -----* rntn.
1) Soit k E N*. On dit que f est de classe ck sur U si et seulement si f admet des
dérivées partielles successives sur U , jusqu'à l'ordre k inclus, par rapport à toutes les
places et si ces dérivées partielles successives sont continues sur U.
2) On dit que f est de classe C
00 sur U si et seulement si f admet des dérivées partielles successives sur U à tout ordre et si ces dérivées partielles successives sont
l continues sur U.
Remarques:
Î
)
1) Si f est de classe ck sur U, alors pour tout m de N tel que m :;:;; k J est de classe C
111 sur U.
2) Pour que f soit de classe C
00 sur U, il faut et il suffit que f soit de classe ck sur U pour tout
kde N*.
Soient k EN* U {+oo}, U un ouvert de fitP, À: U -----* IT?..,f,g: U -----* rntn. Si À,j,g
l sont de classe ck sur u, alors À/ + g est de classe ck sur u.
Preuve
Le raisonnement est analogue à celui de la preuve de la Proposition 1 de 11.4.2 d' Analyse MPSI, par récurrence.
La propriété est vraie pour k = 1 (cf. 9.l .3 2) Prop. p. 502). Supposons-la vraie pour un k de N*, et soient
À: U ~ [{,j,g: U ~ [{n de classe ck+ 1 sur U.
Alors (cas k = 1) Àf + g est de classe C 1 sur U et les dpp de Àf + g s'expriment comme produits et
sommes de À,j,g et des dpp de À,j,g.
Comme À,j,g et leurs dpp sont de classe ck sur U, l'hypothèse de récurrence montre que les dpp de
Àf + g sont de classe ck sur U , et donc Àf + g est de classe ck+ 1 sur U.
Le cas k = + oo se déduit du résultat relatif à k E N* pour tout k.
En particulier, si les fonctions composantes de f sont polynomiales, alors f est de classe C
00 ;
par exemple, f :
[{ 3 ~ [{ 2
est de classe C
00 sur [{ 3 .
(x , y ,z) ~ (x
2 y +z
2 ,xy z 3 - x 2 )