-0
0
c
:J
0
(V)
Exercices
9.1.16
Résoudre les EDPl suivantes, d'inconnue
J: U--+ IR de classe C
1 sur l'ouvert U indiqué, à l'aide
du changement de variables fourni :
a)
af
ar
x - +y _:_ =O, U= IR+ x IR,
ax
ay
1
u =~
V= -
X
ar
af
~-~
b) x __:_ + y - = J x4 + y4, U = IR+ X IR,
ax
ay
y
1:: :2 + y2
af
af
c) (x +y) - + (x - y) - = 0, U = {(x,y) E JR 2 ; x < y)
ax
ay
d) X af - y af = xy2 ,
ax
ay
af
af
e) x--y-=af,
ay
ax
passant en polaires
{
u = x 2 - 2xy - y 2
v=y
u = IR+ X IR, {
U =X
V =xy
a E IR fixé, U = IR+ x IR, en
f) 2x af - y(J + y 2 ) af = o, u = IR+ x IR,
ax
ay
u
2
+ v
2
u
X=
,y=-,
2
V
V > O.
9.2 · Dérivées partielles successives
9.1.17 Soient n E N - {O, 1}, (A1 , ... ,An) E !Rn
tel que A 1 i- 0, (E) l'EDPl :
(E)
n
af
LAk- =0,
k=I
axk
où f : !Rn --+ IR est l'inconnue, supposée de classe C 1
sur !Rn.
Montrer qu'il existe M = (mij )ij E GLn (IR) telle que le
changement de variables défini par:
n
'v'i E {l, ... ,n), X;= L:mijXj
.i=l
ramène (E) à l'EDPl (F)
aF
- = 0
ax 1 '
où on a noté F(X1 , ... ,Xn) = f(x1 , ... ,Xn).
En déduire la solution générale de (E) sur !Rn.
Exemple:
Résoudre l'EDPJ
où f : IR 3 --+ IR, de classe C 1 sur IR 3 , est l'inconnue.
9.2 Dérivées partielles successives
9.2.1
Définition
8 ~ \ Au lieu de « places », on dit aussi :
N 1 «variables ».
Soient U un ouvert de rrf..P,f: U ~ rrf..
71 , k E N*, (i 1 , ••• ,ik) E {l, ... ,p}k.
@,_,,.,.,..
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Les dérivées partielles successives sont
donc définies de proche en proche.
1) Soit a EU. On dit quef admet une dérivée partielle kème en a par rapport aux
places i 1 , ••• , Î k successivement si et seulement si :
• aa:, ' a~i 2
( a
3
:J ' · · · · ax~H ( ax~H ( · · ( aa:J · · .) ) existent
sur un voisinage de a
• _a (3
(· .. (!.f_) .. ·))(a) existe.
axÎk axÎk-1
axi,
521