\}_, La 3ème loi est ici la multiplication.
Théorème important dans la pratique.
Brièvement : la composée de deux
fonctionsdeclasse ck estdeclasse ck.
9.2.3
Autrement dit, lorsque! est de classe
ck ,dans le calcul des dérivées partielles
successives jusqu'à l'ordrek,l'ordre des
dérivations n'a pas d'importance.
Exercices 9.2.1 à 9.1.1 O.
9.2 • Dérivées partielles successives
Remarque:
L'ensemble ck (V) des applications de V dans lR de classe ck sur U est une algèbre pour les
lois usuelles.
Soient U (resp. V) un ouvert de IR' .q (resp. ffi'.P) f : U -----+ JR'.P, g : V -----+ IR' .n telles
quef(U) CV, k EN* U {+oo}.
Si f et g sont de classe ck sur U et V respectivement, alors g o f est de classe ck
sur U.
Preuve
Le raisonnement est analogue à celui de la preuve de la Prop. 2 de l l.4.2, Analyse MPSI.
Le cas k = 1 a été étudié en 9. l .3 2) Th. p. 500. Supposons k ~ 2.
Alors g o f est de classe C 1 (cas k = 1) et les dpp de g o f s'expriment comme sommes, produits, composées à partir de f et des dpp de f et g (cf. 9.1.3 2) Th. p. 500). Comme f et les dpp de f et g sont de
classe ck- I, il en résulte (cf. Prop. p. 522) que les dpp de g o f sont de classe ck- l , donc g o f est de
classe ck.
Le cas k = +oo se déduit du résultat relatif à k E N* pour tout k.
•
Interversion des dérivations
On admet le théorème suivant.
Théorème de Schwarz
Soient U un ouvert de JR'.P,f : U -----+ IR' .n une application. Sif est de classe C
2 sur U alors :
l
V(i,j)E{l,. .. , p}
2 , VxEU, J;'.x/x)=J;~x/x).
~---~
Soient U un ouvert de ffi'.P, k EN - {0,1},f: U-----+ IR' .
11 de classe ck sur U. Pour
tout N de {2,. .. ,k}, tout (i 1 ,. •• ,iN) de {l,. .. ,p}N et toute permutation Œ de
{l,. .. ,N }, on a:
Étude de dérivées partielles premières et secondes
a) Montrer que l'application f: IR
2 - {(0,0)} ~ lR, (x,y) i--+ f(x,y) = xy ln (x
2
+ /) admet un prolongement continu
à JR
2 , noté encore f.
b) Étudier l'existence et la continuité des dérivées partielles premières de f.
c) Étudier l'existence et la continuité des dérivées partielles secondes de f.
523
Théorème important dans la pratique.
Brièvement : la composée de deux
fonctionsdeclasse ck estdeclasse ck.
9.2.3
Autrement dit, lorsque! est de classe
ck ,dans le calcul des dérivées partielles
successives jusqu'à l'ordrek,l'ordre des
dérivations n'a pas d'importance.
Exercices 9.2.1 à 9.1.1 O.
9.2 • Dérivées partielles successives
Remarque:
L'ensemble ck (V) des applications de V dans lR de classe ck sur U est une algèbre pour les
lois usuelles.
Soient U (resp. V) un ouvert de IR' .q (resp. ffi'.P) f : U -----+ JR'.P, g : V -----+ IR' .n telles
quef(U) CV, k EN* U {+oo}.
Si f et g sont de classe ck sur U et V respectivement, alors g o f est de classe ck
sur U.
Preuve
Le raisonnement est analogue à celui de la preuve de la Prop. 2 de l l.4.2, Analyse MPSI.
Le cas k = 1 a été étudié en 9. l .3 2) Th. p. 500. Supposons k ~ 2.
Alors g o f est de classe C 1 (cas k = 1) et les dpp de g o f s'expriment comme sommes, produits, composées à partir de f et des dpp de f et g (cf. 9.1.3 2) Th. p. 500). Comme f et les dpp de f et g sont de
classe ck- I, il en résulte (cf. Prop. p. 522) que les dpp de g o f sont de classe ck- l , donc g o f est de
classe ck.
Le cas k = +oo se déduit du résultat relatif à k E N* pour tout k.
•
Interversion des dérivations
On admet le théorème suivant.
Théorème de Schwarz
Soient U un ouvert de JR'.P,f : U -----+ IR' .n une application. Sif est de classe C
2 sur U alors :
l
V(i,j)E{l,. .. , p}
2 , VxEU, J;'.x/x)=J;~x/x).
~---~
Soient U un ouvert de ffi'.P, k EN - {0,1},f: U-----+ IR' .
11 de classe ck sur U. Pour
tout N de {2,. .. ,k}, tout (i 1 ,. •• ,iN) de {l,. .. ,p}N et toute permutation Œ de
{l,. .. ,N }, on a:
Étude de dérivées partielles premières et secondes
a) Montrer que l'application f: IR
2 - {(0,0)} ~ lR, (x,y) i--+ f(x,y) = xy ln (x
2
+ /) admet un prolongement continu
à JR
2 , noté encore f.
b) Étudier l'existence et la continuité des dérivées partielles premières de f.
c) Étudier l'existence et la continuité des dérivées partielles secondes de f.
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