9.1 ·Dérivées partielles premières
E:xeJ&cice-type J&ésolu
Exemple d 'ED Pl
On note U = (JR~)
3
• Trouver toutes les applications J : U -----+ IR de classe C
1 telles que:
ôf
y ôf
Ay
(E)
'v'(x ,y,z) EU, -
8
(x ,y ,z) + -8
(x ,y,z) = - ,
X
X y
Z
en utilisant le changement de variables défini par :
X= UV,
y= vw ,
Z = UW ,
u > 0, V > 0, w > O.
Solution
1) Étude du changement de variables
Notons: U-----+ U, (u ,v,w) f----+ (uv ,vw ,uw).
L'application est de classe C
1 sur U d'après les théorèmes généraux.
On a, pour tous (x,y, z) EU, (u,v ,w) EU:
(u,v ,w)=(x ,y,z) {:::::::}
y=vw ===} xy z = (uvw)
2
l
x=uv
z =uw
puis:
(u,v,w) = (x, y,z ) {:::::::}
(
u = uvw = ,.jXfZ = @ ,
vw
y
v y
V= ,.jXfZ = fxY ,
z
y-;
Ceci montre que : U -----+ U est bijective et que :
===} uvw = ,,JXYZ.,
1
: U-----+ U , (x, y ,z) f----+ ( f!· A · fi!).
Conseils
Il est clair que U est un ouvert et que, pour
tout (u,v ,w) E U , on a bien
(uv , vw , uw) E U.
On peut exprimer u , v , w en fonction de
x ,y,z.
Comme est de classe C
1 sur U, bijective, et que 1 est de classe C
1 sur U, on et 1 sont de classe C
1 d'après les
conclut, par définition: est un C
1 -difféomorphisme de U sur U .
théorèmes généraux.
2) Résolution de (E)
Notons g (u , v,w) = f (x, y ,z).
~
ôg
Remarquons que (E) ne contient pas ôz, d'où l'idée d'exprimer ôv, puisque
ôz
- =0.
ôv
On a:
ôg
ôf ôx
ôf ôy
ôf ôz
ôf
ôf
ôf
- = - - +--+-- = -u+-w+-0
ôv
ôx ôv
ôy ôv
ôz ôv
ôx
ôy
ôz
D'où:
(E) {:::::::} fy Ôg = fxY {:::::::} Ôg =X =UV .
v-;;. av v -;
av
Autrement dit, g = J o , et donc g est
de classe C
1 sur U.
Le calcul des dérivées partielles premières
de J en fonction de celles de g semble
lourd, car le calcul des dérivées partielles
premières de x , y , z par rapport à u, v, w
nécessite des dérivations de fonctions
exprimées par des racines carrées.
Calcul des dérivées partielles premières
d'une fonction composée.
On peut, pour la commodité des calculs,
« mélanger » temporairement x ,y,z et
u. ,v,w.
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