Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
\J Cf.9.1.32)Th.p.534.
t/J f=F o ,F=f o r
1
•
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
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>- 0.
0
u
518
Calcul des dérivées partielles premières
d'une fonction composée.
1
On intègre z X
2 (Y - X) par rapport
à X et on rajoute une fonction de Y.
f(x,y = F(X,Y)
= F(x,x + 2y).
Exercices9.1.16, 9.1.17.
2) Autres EDPJ
L'énoncé indiquera en général un changement de variables (ce qui entraînera aussi un changement de fonction inconnue) permettant de se ramener aux équations fondamentales du 1). On
sera ai nsi amené le plus souvent à calcu.ler des dpp d'une fonction composée .
Exemple:
Trouver toutes les applications f : R
2 -----+ .R de classe C
1 sur JR
2 , telles que :
âf
âf
)
2 -;- - -;- = X-r.
ax ay
.
en utilisant le changement de variables : X = x . Y = x + 2 y .
L'application JR 2 (voir aussi 9.1.6 Exemple 1) p. 513). Notons, pour f : JR 2 -----+ JR, F = f o ainsi:
2
\:/ (x,y) E lR , f(x,y) = F(x,x + 2y),

F
ou encore:
(x,y) f---+(x,x + 2y) f---+ F(x ,x + 2y) = f(x ,y).
De plus, F est de classe C 1 sur JR 2 si et seulement si f est de classe C 1 sur JR 2 .
D'après 9.1.3 2) Th. p. 500, on a, avec des notations abusives classiques:
1
af = aF ax + aF ar = aF + aF
ax
ax ax
ar ax
ax
ar
af
aF ax
aF ar
aF
- = - - + - - = 2 -
ay
ax ay
ar ay
ar
On e n déduit que f est solution sur JR 2 de
ôf
ôf
2- - - = x 2 y si et seulement si Fest soluax
ôy
tion sur JR 2 de :
ôF
1 2
2 -
= - X (Y - X).
ax
2
D'après 1 ), la solution générale pour F est donnée par :
1
1
F(X, Y)= - - X 4 + -X 3 Y + A(Y) , où A : lR -----+ lR est quelconque de classe C 1 .
16
12
La solution générale de l'EDPl proposée est donc :
1
1
f: (x,y) f---+
48
x
4 + 6
x
3 y + A(x + 2y),
où A : lR -----+ lR est quelconque de classe C 1 sur lR .
Remarque:
En notant et F = f o dpp de f en fonction de celles de F, et on utilisera donc les formules relatives aux dpp d'une
fonction composée sous la forme :
1
af = aF ax + aF ar
ax
axax
arax
ôf
ôFôX
ôFôY
- = - - + - - .
ay
ax ay
ar ay