-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
Le schéma représente la surface
d'équationcartésienne z = f(x ,y).
Utilisation de la formule fondamentale
reliant dérivée et intégrale.
Si rp: / ~ !R estdeclasse C 1 sur/,
alors, pour tous xo , x E / :
f xo
~ cri Résultat utile en pratique.
·;::
>- 0.
0
u
En pratique, on intègre x 2 + y2 par
rapportàx,puis on rajoute une fonction
du seul y .
y
X
9.1 ·Dérivées partielles premières
Considérons U = JR 2 - ({0} x lR+ ), et
f : U -----+ lR définie par:
f(x ,y ) = 1 -~2
)'2
si y< O
si (x > 0 et y :;::, 0)
si (x < 0 et y :;::, 0).
Il est clair que f est de classe C 1 sur l'ouvert (étoilé) U et vérifie :
V (x ,y) EU,
af
- (x ,y ) = O.
ax
Cependant, il n'existe pas d'application
A : lR -----+ lR telle que:
V (x,y) EU, f(x,y) = A (y), puisque,
par exemple,
f (l , l )-=!= f(- 1, 1) .
b) Résolution de of = g sur un pavé ouvert
ax
Soient I , J deux intervalles ouverts non vides de lR , U = I x J , g : U -----+ lR continue.
On veut déterminer les applications f : U -----+ lR de classe C 1 sur U telles que :
V(x ,y) EV,
• Soit f convenant. Pour tout y de J , on a :
d'où :
af
ax (x,y) = g(x ,y ).
I
af
V x E l , (f( · ,y )) (x ) = - (x,y ) = g(x ,y),
ax
Vx E 1, (f( · ,y))(x) = (f( · ,y)) (xoH j x (f( · ,y))' (t) dt = f(xo ,y)+ j x g(t ,y ) dt ,
xo
xo
où xo E I est fi xé quelconque.
Donc f est de la forme f : (x,y) ~ A (y) + r g(t ,y) dt , où xo E I et A: J -----+ lR est de
l xo
classe C 1 sur J.
• Réciproquement, pour tout xo de I et toute application A : J -----+ lR de classe C 1 sur J,
l'application f : V -----+ lR
est de classe C 1 sur V et :
(x ,y) f--> A(y )+j,x g(t ,y) dt
xo
V (x,y) E V ,
af
ax (x ,y) = g (x ,y ) ,
en utilisant l'étude des intégrales fonctio ns de la borne d'en haut (cf. Analyse MPSJ, 6.4.1
Cor. 1 p. 183 et le théorème de dérivation sous le signe/).
Ainsi, la solutio n générale de l'EDPl af = g (f inconnue , g donnée) est obtenue en « primiax
tivant » g par rapport à x et en rajoutant une fonction quelconque de classe C 1 de la variable y .
Le résultat se généralise aisément au cas de plusieurs (?: 3) variables.
Exemple:
La solutio n générale de l'EDPl af = x 2 + y 2 sur JR 2 (où f : JR 2 -----+ lR , de classe C 1 ,
ax
est l'inconnue) est
f : JR 2 -----+ lR
,
3
(x ,y)f--> '1-+xy 2 +A(y)
où A : lR -----+ lR est quelconque de classe C 1 sur lR .
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0
c
::J
0
(V)
......
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N
Le schéma représente la surface
d'équationcartésienne z = f(x ,y).
Utilisation de la formule fondamentale
reliant dérivée et intégrale.
Si rp: / ~ !R estdeclasse C 1 sur/,
alors, pour tous xo , x E / :
f xo
~ cri Résultat utile en pratique.
·;::
>- 0.
0
u
En pratique, on intègre x 2 + y2 par
rapportàx,puis on rajoute une fonction
du seul y .
y
X
9.1 ·Dérivées partielles premières
Considérons U = JR 2 - ({0} x lR+ ), et
f : U -----+ lR définie par:
f(x ,y ) = 1 -~2
)'2
si y< O
si (x > 0 et y :;::, 0)
si (x < 0 et y :;::, 0).
Il est clair que f est de classe C 1 sur l'ouvert (étoilé) U et vérifie :
V (x ,y) EU,
af
- (x ,y ) = O.
ax
Cependant, il n'existe pas d'application
A : lR -----+ lR telle que:
V (x,y) EU, f(x,y) = A (y), puisque,
par exemple,
f (l , l )-=!= f(- 1, 1) .
b) Résolution de of = g sur un pavé ouvert
ax
Soient I , J deux intervalles ouverts non vides de lR , U = I x J , g : U -----+ lR continue.
On veut déterminer les applications f : U -----+ lR de classe C 1 sur U telles que :
V(x ,y) EV,
• Soit f convenant. Pour tout y de J , on a :
d'où :
af
ax (x,y) = g(x ,y ).
I
af
V x E l , (f( · ,y )) (x ) = - (x,y ) = g(x ,y),
ax
Vx E 1, (f( · ,y))(x) = (f( · ,y)) (xoH j x (f( · ,y))' (t) dt = f(xo ,y)+ j x g(t ,y ) dt ,
xo
xo
où xo E I est fi xé quelconque.
Donc f est de la forme f : (x,y) ~ A (y) + r g(t ,y) dt , où xo E I et A: J -----+ lR est de
l xo
classe C 1 sur J.
• Réciproquement, pour tout xo de I et toute application A : J -----+ lR de classe C 1 sur J,
l'application f : V -----+ lR
est de classe C 1 sur V et :
(x ,y) f--> A(y )+j,x g(t ,y) dt
xo
V (x,y) E V ,
af
ax (x ,y) = g (x ,y ) ,
en utilisant l'étude des intégrales fonctio ns de la borne d'en haut (cf. Analyse MPSJ, 6.4.1
Cor. 1 p. 183 et le théorème de dérivation sous le signe/).
Ainsi, la solutio n générale de l'EDPl af = g (f inconnue , g donnée) est obtenue en « primiax
tivant » g par rapport à x et en rajoutant une fonction quelconque de classe C 1 de la variable y .
Le résultat se généralise aisément au cas de plusieurs (?: 3) variables.
Exemple:
La solutio n générale de l'EDPl af = x 2 + y 2 sur JR 2 (où f : JR 2 -----+ lR , de classe C 1 ,
ax
est l'inconnue) est
f : JR 2 -----+ lR
,
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(x ,y)f--> '1-+xy 2 +A(y)
où A : lR -----+ lR est quelconque de classe C 1 sur lR .
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