Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Revoir la notion d'ouvert dans un produit
cartésien d'evn, § 1.1 .5.
' \JJ !; est une fonction du premier degré.
-0
0
c
::J
0
~
N
Résultat utile en pratique.
@
..._,
.s::
Ol
·~
La deuxième projection J de V est
g._..... définie par:
u
l={ y E JR:. ; 3x E JR:., (x, y) EV} .
516
J
1) Equations fondamentales
a) Résolution de of = 0 sur wz ou vert convexe
ax
Soit U un ouvert convexe de IR 2 . On veut déterminer toutes les applications f : U -----+ IR de
1
af
classe C sur U, telles que: 'v'(x,y) EU, - (x,y) =O.
ax
• Soit f convenant. Notons J la deuxième projection de U, c'est-à-dire :
l ={y E IR; 3x E IR, (x , y) EU}.
y
X
Puisque U est ouvert, J est ouvert. Soit y E J.
Puisque
U
est
convexe,
l'ensemble
{x E IR; (x ,y) E U} est un intervalle, noté ici l y.
On a:
!
af
'v' XE l y , (f(. ,y)) (x) = ax (x , y) =O.
Tl existe donc un réel unique, noté ici A (y ), tel
que:
'v' X E f y, (/( -,y))(x) = A(y).
Ainsi: 'v'(x,y) EU, f(x ,y) = A(y).
Il reste enfin à montrer que A est de classe C 1 sur J.
y
X
Dans le cas où J est borné, J = ]a ; .BL
(a,,B) E IR 2 , il existe (x1 ,x2) E IR 2 tel que
(x1 ,a) E U
et (x2,.8) E U
notons
~ : J -----+ IR l'application qui, à y E J , associe
le réel ~(y) tel que (~(y) , y) soit sur le segment joignant (x1 ,a) et (x2,.B).
Il est alors clair que ~ est de classe C 1 donc,
comme
'v' y E l ,
A(y) = f (~(y) , y) ,
A est de classe C 1 sur J.
Le lecteur adaptera le raisonnement précédent au cas où J n'est pas borné.
• Réciproquement, il est évident que, pour toute application A : J -----+ IR de classe C 1 sur J,
l'application f : U -----+ IR est de classe C 1 sur U et vérifie l'EPDl : af =O.
(x,y) -+ A(y)
ax
En résumé:
Si U est un ouvert convexe de IR 2 , les solutions f : U -----+ IR de classe C 1 de l'EDPl af = 0
ax
sont les applications f : U -----+ IR , où A : J -----+ IR est de classe C 1 et J est la deuxième
(x ,y) r--+ A(y)
projection de U.
On dispose bien sûr d'un résultat analogue pour I'EDPl af = 0, et de résultats similaires dans
ay
le cas de plusieurs (~ 3) variables.
Remarque:
Si l'ouvert U n'est pas convexe, le résultat précédent peut tomber en défaut, comme le
montre l'exemple suivant.
Revoir la notion d'ouvert dans un produit
cartésien d'evn, § 1.1 .5.
' \JJ !; est une fonction du premier degré.
-0
0
c
::J
0
~
N
Résultat utile en pratique.
@
..._,
.s::
Ol
·~
La deuxième projection J de V est
g._..... définie par:
u
l={ y E JR:. ; 3x E JR:., (x, y) EV} .
516
J
1) Equations fondamentales
a) Résolution de of = 0 sur wz ou vert convexe
ax
Soit U un ouvert convexe de IR 2 . On veut déterminer toutes les applications f : U -----+ IR de
1
af
classe C sur U, telles que: 'v'(x,y) EU, - (x,y) =O.
ax
• Soit f convenant. Notons J la deuxième projection de U, c'est-à-dire :
l ={y E IR; 3x E IR, (x , y) EU}.
y
X
Puisque U est ouvert, J est ouvert. Soit y E J.
Puisque
U
est
convexe,
l'ensemble
{x E IR; (x ,y) E U} est un intervalle, noté ici l y.
On a:
!
af
'v' XE l y , (f(. ,y)) (x) = ax (x , y) =O.
Tl existe donc un réel unique, noté ici A (y ), tel
que:
'v' X E f y, (/( -,y))(x) = A(y).
Ainsi: 'v'(x,y) EU, f(x ,y) = A(y).
Il reste enfin à montrer que A est de classe C 1 sur J.
y
X
Dans le cas où J est borné, J = ]a ; .BL
(a,,B) E IR 2 , il existe (x1 ,x2) E IR 2 tel que
(x1 ,a) E U
et (x2,.8) E U
notons
~ : J -----+ IR l'application qui, à y E J , associe
le réel ~(y) tel que (~(y) , y) soit sur le segment joignant (x1 ,a) et (x2,.B).
Il est alors clair que ~ est de classe C 1 donc,
comme
'v' y E l ,
A(y) = f (~(y) , y) ,
A est de classe C 1 sur J.
Le lecteur adaptera le raisonnement précédent au cas où J n'est pas borné.
• Réciproquement, il est évident que, pour toute application A : J -----+ IR de classe C 1 sur J,
l'application f : U -----+ IR est de classe C 1 sur U et vérifie l'EPDl : af =O.
(x,y) -+ A(y)
ax
En résumé:
Si U est un ouvert convexe de IR 2 , les solutions f : U -----+ IR de classe C 1 de l'EDPl af = 0
ax
sont les applications f : U -----+ IR , où A : J -----+ IR est de classe C 1 et J est la deuxième
(x ,y) r--+ A(y)
projection de U.
On dispose bien sûr d'un résultat analogue pour I'EDPl af = 0, et de résultats similaires dans
ay
le cas de plusieurs (~ 3) variables.
Remarque:
Si l'ouvert U n'est pas convexe, le résultat précédent peut tomber en défaut, comme le
montre l'exemple suivant.