Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
9.1.6
\ '/ \ ~.et F sont des evn de dimensions
\...:..) finies.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
512
•est surjective par construction, et
est injective car c'est la restriction de
• V =
l'application continue ·et1 sont de classe C
1 carcesont
le s restrictions à des ouverts
d'applications linéaires.
Exercices9.1.11 à 9.1.15.
C
1
-difféomorphismes
Soient U (resp. V) un ouvert de E (resp. F) , : U ---+ V.
On dit que est un C
1
- difféomorphisme (d e U sur V) si et seulement si:
Exemple:
1
et de classe C
1 sur U
est bijective
- 1 est de classe C 1 sur V.
Soient U un ouvert de E , cp E L(E, F) bijective, alors
Par exemple, JR 2 -----+ JR 2
est un C 1 -difféomorphisme de JR 2 sur JR 2 .
(x,y)i-+(x+y,x-y)
Remarques :
1)· Pourtoutouvert U deE,ldu estun C 1 -difféomorphismede Usur U.
·Si alors ' l/J o • Si li en résulte que l'ensemble des C 1 -difféomorphismes de U sur lui-même est un groupe
pour la loi de composition.
2) li se peut que, deux ouverts U , V étant donnés, il n'existe pas de C 1 -difféomorphisme
de U sur V; par exemple, si U est connexe par arcs et si V ne l'est pas, alors il n'existe aucun
homéomorphisme de U sur V (cf. 1.5 Prop. 2), donc a fortiori aucun C 1 - difféomorphisme
de U sur V.
Soient U (resp. V) un ouvert de E (resp. F), : U ---+ V une application. Si est
un C
1
-difféomorphisme, alors :
• dim(E)= dim(F)
•Pour tout a de U, da est un isomorphisme de E sur F et:
Preuve
D'après 9. 1.3 2) Th. p. 500 :
{
(dq,(a) ) o (da (da Ainsi, da
9.1.6
\ '/ \ ~.et F sont des evn de dimensions
\...:..) finies.
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N
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512
•est surjective par construction, et
est injective car c'est la restriction de
• V =
l'application continue ·et1 sont de classe C
1 carcesont
le s restrictions à des ouverts
d'applications linéaires.
Exercices9.1.11 à 9.1.15.
C
1
-difféomorphismes
Soient U (resp. V) un ouvert de E (resp. F) , : U ---+ V.
On dit que est un C
1
- difféomorphisme (d e U sur V) si et seulement si:
Exemple:
1
et de classe C
1 sur U
est bijective
- 1 est de classe C 1 sur V.
Soient U un ouvert de E , cp E L(E, F) bijective, alors
Par exemple, JR 2 -----+ JR 2
est un C 1 -difféomorphisme de JR 2 sur JR 2 .
(x,y)i-+(x+y,x-y)
Remarques :
1)· Pourtoutouvert U deE,ldu estun C 1 -difféomorphismede Usur U.
·Si alors ' l/J o • Si li en résulte que l'ensemble des C 1 -difféomorphismes de U sur lui-même est un groupe
pour la loi de composition.
2) li se peut que, deux ouverts U , V étant donnés, il n'existe pas de C 1 -difféomorphisme
de U sur V; par exemple, si U est connexe par arcs et si V ne l'est pas, alors il n'existe aucun
homéomorphisme de U sur V (cf. 1.5 Prop. 2), donc a fortiori aucun C 1 - difféomorphisme
de U sur V.
Soient U (resp. V) un ouvert de E (resp. F), : U ---+ V une application. Si est
un C
1
-difféomorphisme, alors :
• dim(E)= dim(F)
•Pour tout a de U, da est un isomorphisme de E sur F et:
Preuve
D'après 9. 1.3 2) Th. p. 500 :
{
(dq,(a) ) o (da (da Ainsi, da
(a)