9.1 ·Dérivées partielles premières
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'} \ Lanotiondepartieconnexepararcsd'un
\Y evn a été définie da ns 1.5 Déf.
p. 76.
Soient U un ouvert connexe par arcs de ffi.P,f: U -----+ "&.. de classe C
1 sur U. Pour
que f soit constante sur U, il faut et il suffit que :
'
On veillera à ne pas confondre convexe
et connexe.
V j E {l,. .. ,p }, Vx EU,
Preuve
of
-(x) =O.
OXj
Si f est constante sur U, il est clair qu'alors les dpp de f sont nulles sur U.
Réciproquement, supposons que les dpp de f soient nulles sur U.
\ ' "< \ 11 ({f (a))) est l'image réciproque
\...:,..-> de {f (a)} par l'application f
Soit a EV, et considérons C = {x EU; f(x) = f(a) ) = f - 1 ({f(a))).
1) C i= 0 , car a E C.
Exercices 9. 1 .9, 9. 1. 1 O.
2) C est fermé dans U car {f (a)} est fermé dans F et f est continue (cf. 1.2.2 2) Prop. p. 43).
3) Montrons que C est ouvert dans U .
Soit x E C. Puisque C C U et que U est un ouvert de JRP, il existe r > 0 tel que B(x; r) c U.
Pour tout y de B (x; r) , le segment [x ; y ] est inclus dans B (x; r) , donc dans U ; d'après ! 'inégalité des
accroissements finis, on déduit f (y) = f (x) , d'où y E C.
Ceci montre que C est ouvert dans E, donc dans U (puisque U est un ouvert de E).
Finalement, C étant une partie ouverte et fermée non vide du connexe par arcs (donc connexe, hors-programme) U, on a C = U , et donc f est constante sur U.
Remarque:
Si l'ouvert U est étoilé, c'est-à-dire s'il existe
aEU telque C alors la preuve précédente est simplifiée,
puisque, pour tout (x ,y) de u 2 ,d'après l'inégalité des accroissements finis, f(x) = f (a) et
f(y) = f(a). donc f(x) = f(y).
9.1.9 Soient ABC un triangle du plan e uclidie n, te l que
A ,B ,C soient deux à deux distincts, a= BC, b =CA,
c = AB. Simplifier:
9.1.10 Soit f : IR 2 ----+ IR 2 de classe C 2 telJe que, pour
tout (x ,y) de IR 2 , d(x ,y) f soit une rotation de IR 2 .
Démontrer que f est une rotation affine de JR 2 .
a2 + b2 - c2
b2 + c2 - a2
Arccos
+ Arccos - - - - -
2ab
2bc
c 2 + a2 - b2
+ Arccos - - - - -
2ca
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'} \ Lanotiondepartieconnexepararcsd'un
\Y evn a été définie da ns 1.5 Déf.
p. 76.
Soient U un ouvert connexe par arcs de ffi.P,f: U -----+ "&.. de classe C
1 sur U. Pour
que f soit constante sur U, il faut et il suffit que :
'
On veillera à ne pas confondre convexe
et connexe.
V j E {l,. .. ,p }, Vx EU,
Preuve
of
-(x) =O.
OXj
Si f est constante sur U, il est clair qu'alors les dpp de f sont nulles sur U.
Réciproquement, supposons que les dpp de f soient nulles sur U.
\ ' "< \ 11 ({f (a))) est l'image réciproque
\...:,..-> de {f (a)} par l'application f
Soit a EV, et considérons C = {x EU; f(x) = f(a) ) = f - 1 ({f(a))).
1) C i= 0 , car a E C.
Exercices 9. 1 .9, 9. 1. 1 O.
2) C est fermé dans U car {f (a)} est fermé dans F et f est continue (cf. 1.2.2 2) Prop. p. 43).
3) Montrons que C est ouvert dans U .
Soit x E C. Puisque C C U et que U est un ouvert de JRP, il existe r > 0 tel que B(x; r) c U.
Pour tout y de B (x; r) , le segment [x ; y ] est inclus dans B (x; r) , donc dans U ; d'après ! 'inégalité des
accroissements finis, on déduit f (y) = f (x) , d'où y E C.
Ceci montre que C est ouvert dans E, donc dans U (puisque U est un ouvert de E).
Finalement, C étant une partie ouverte et fermée non vide du connexe par arcs (donc connexe, hors-programme) U, on a C = U , et donc f est constante sur U.
Remarque:
Si l'ouvert U est étoilé, c'est-à-dire s'il existe
aEU telque C alors la preuve précédente est simplifiée,
puisque, pour tout (x ,y) de u 2 ,d'après l'inégalité des accroissements finis, f(x) = f (a) et
f(y) = f(a). donc f(x) = f(y).
9.1.9 Soient ABC un triangle du plan e uclidie n, te l que
A ,B ,C soient deux à deux distincts, a= BC, b =CA,
c = AB. Simplifier:
9.1.10 Soit f : IR 2 ----+ IR 2 de classe C 2 telJe que, pour
tout (x ,y) de IR 2 , d(x ,y) f soit une rotation de IR 2 .
Démontrer que f est une rotation affine de JR 2 .
a2 + b2 - c2
b2 + c2 - a2
Arccos
+ Arccos - - - - -
2ab
2bc
c 2 + a2 - b2
+ Arccos - - - - -
2ca
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