Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
-0
Toute application continue sur un
compact.et à valeurs danslR,est bornée.
g Rappel de notation :
~ V est l'adhérence de U dans JRP .
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
510
Et, en notant h = b - a = (h i , ... ,h p) :
p
ar
q/(t) = L:> 1 -· - ca + th) .
J= i
ax_i
VtE [O; l] ,
D'où:
Sup lq/(t) I :::;; (Max.l h11 ) t 1::.ca+ th)I :::;; ll h lloo M.
IE[0.1)
kJ ~ P
j= I
J
•
Remarques :
1) L'existence de M est assurée (lorsque f est de classe C 1 sur U) quitte à remplacer U par
un ouvert borné V tel que [a ; b] c V c V c U, puisque les dérivées partielles
premières de f sont continues sur le fermé borné V de JRP (cf. 1.3.1 Prop. 5
p. 60 et 1.3.2 Th. 2 p. 63).
2) Une étude analogue montre que l'on peut remplacer simultanément 11. lloo sur JRP et la
condition de majoration des dpp, par 11.111 sur JRP et la condition :
VxE[a;b],
Max 1 af (x) I :::;; M.
l ~j ~ p axj
Rappelons qu'une partie C d'un IR -ev est dite convexe si et seulement si :
2
'v'(x, y) E C , [x; y ] c C.
Soient U un ouvert convexe de ~P ,f : U ----+ ~ de classe C
1 sur U , M E ~ tel que :
Vx EU,
P 1 of
1
L - . (x) :::;; M .
j=I OX;
Alors f est M-lipschitzienne, c'est-à-dire :
V(x,y) E U
2
,
lf(x) - f(y)I :::;; Mllx - Ylloo·
Soient U un ouvert convexe de ~P,f : U ----+ ~ continue sur U et de classe C
1 sur U ,
P 1 of
1
ME~ tel que: V x EU, L -. (x) :::::; M.
j=l OX;
Alors f est M-lipschitziennne (sur U ).
Preuve
D'après le Cor. 1: V (x,y) E U
2 , lf(x) - f(y)I:::;; M llx - Ylloo·
Par continuité de f sur U et densité de U dans U, on déduit :
V (x ,y) E (U)
2 , lf(x) - f(y) I :::;; M llx - ylloo·
•
Le Corollaire 3 suivant est hors-programme.