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\ 'j L'application linéaire I_;..... définie par:
Vx E IR", 1 (x) = 9.1 ·Dérivées partielles premières
On admet le théorème suivant :
Soient V , V deux ouverts de E, : V -----* V une application de classe C
1 et injective. Pour que soit un C
1
-difféomorphisme de V sur V, il faut et il suffit que :
{
V= (V)
V x E V, det(J Remarques:
1) La condition det(J encoreàdx E Ç.C(lRn).
2) Le corollaire précédent est surtout utile dans le cas où - 1 est difficilement « exprimable», ou n'est pas exprimable.
Exemples:
I ) Changement de variables affine
Si : JR.n ---+ !Rn est affine et bijective, alors est un C 1 -difféomorphisme de !Rn sur !Rn ;
en effet, est de classe C 1 , bijective, et, en notant --;(; 1·application .linéaire associée à,
on a: V a E !Rn, da = --;(; E Ç.L:(lRn) .
Par exemple, : JR 2 ---+ JR 2
est un C
1
- difféomorphisme.
(x ,y)t--+ (3+x+y,2 - x+y )
On peut aussi remarquer plus élémentairement que et - 1 sont affines et bijectives.
2) Passage en coordonnées sphériques
Soient U = ] - rr; rr[x]O; + oo[x ]O; rr[, V= JR 3 - (lR_ x {0} x IR).
On montre facilement que l'application : U ---+ V défi nie par :
(B ,p , est de classe C 1 , bijective.
z
y
y
X
De plus, pour tout (B,p ,rp) de U :
-p sine sin rp cos e sin rp p cos e cos rp
det {l.p(B,p,rp)) = p cos e sin rp
0
sin e sin rp p sin e cos rp = p
2 sin
2 rp i- O.
cos -p sin rp
D'après le Théorème précédent, est un C 1 -difféomorphisme de U sur V.
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