g L'application da f est linéaire.
-0
n Voir aussi exercice 9.1.8 p. 509.
~\JJ
9.1 ·Dérivées partielles premières
Preuve
Puisquefestdifférentiableen a: f(a+h)=f(a)+(d 0 f)(h)+ o (llhll).
h ---> 0
En particulier, pour tout t de R* (tel que a + tv E U) :
!(f(a + tv) - f(a)) = ! ( (daf)(tv) + o Clltvll))
t
t
t --->O
= (d 0 f)(v) + o (1) ~ (d 0 f)(v).
r ----. 0
t--->0
Donc f admet une dérivée en a suivant v, et (Dvf)(a) = (d 0 f)(v).
•
----...
Soient U un ouvert de JRP, a E U, f: U -----+ F. Si f est différentiable en a, alors f
admet des dérivées partielles premières en a, et :
Preuve
D'après le Théorème 2, f admet des dérivées partielles premières en a et
V j E {l , .. .,p},
où (e1,. .. ,ep) est la base canonique de JRP.
On déduit:
af
-(a)= (daf)(ej),
axj
V(h1,. .. ,h 1 ,) E JR P, (d"f)(h1,. .. ,h p) = daf(thjej)
1=1
p
p
af
= I >j(daf)(ej) = I >j-(a).
j = I
j = I
3Xj
Remarque:
•
Il se peut qu'une application f : U -----+ F admette des dérivées partielles premières en a
sans être différentiable en a.
Par exemple,.f : R 2 -----+ R
admet des dérivées partielles premières en (0,0) et
{
0 si xy #- 0
(x ,y) f---+
1 si xy = 0
af (0,0) = af (0,0) = 0 (car f (. ,0) = 1 etf (0,.) = i) et n'est pas différentiable en (0,0)
ax
ay
car f n'est pas continue en (0,0).
Soient U un ouvert de JRP, a E U,f: U-----+ F.
S. { f admet des dérivées partielles premières sur U
1
1
les dérivées partielles premières de f sont continues en a. '
alors f est différentiable en a.
Preuve
C'est essentiellement la même démonstration que pour la Prop. de 9.1.2 p. 498.
•
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