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Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Le lecteur se convaincra aisément à
l'aide d'exemples que les réciproques
de ces implications sont fausses.
Exercices 9.1.5 à 9.1.8.
On peut résumer les trois théorèmes précédents, pour f : U -----+ F où U est un ouvert de IRP,
et a EU:
Les dpp de f
existent sur U
et sont continues en a
f est différentiable
en a
où dpp est l'abréviation de : dérivée partielle première.
Les dpp de f en a
existent
f est continue en a
,., \ .C(E,F) est ici muni d'une norme
\Jj quelconque, puisq ue, E et F étant de
dimensions finies,.C(E, F) est aussi de
dimension finie.
ent U ~n ouvert de E, f : U -----+ F différentiable sur U. Pour que f soit de classe
sur U, il faut et il suffit que l'application U-----+ .C(E, F) soit continue.
a r----+ da f
"O
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
508
La différencielle d'une composée est la
composée des différentielles.
Différentiabilité
Preuve
Supposons E = IRP, F =IR", le cas général s'y ramenant par le choix de bases. Il suffit de remarquer que,
pour que l'application U -----+ M 11 , p (IR) soit continue, il faut et il suffit que, pour chaque j de { 1, ... , p},
a1-- df(a)
D j f soit continue en a.
•
La Prop. 2 précédente justifie l'expression « continûment différentiable » quelquefois employée
pour : de classe C 1 .
Soient U (resp. V) un ouvert de E (resp. F), f : U -----+ F ,g : V -----+ G telles que ~
f (U) C V, et a E U.
Si {
f est différentiable en a 1 alors g o f est différentiable en a et :
g est différentiable en f (a) '
Preuve
C'est essentiellement la même démonstration que celle du théorème de 9 .1.3 2) p. 500.
•
• Pour montrer qu'une application f : U ~ F, où U est un ouvert d'un evn E et Fest un evn, est différentiable en un point a de U, dans un cadre plutôt abstrait (ex. 9.1.5 à 9.1.7), exprimer f(a + h) sous la forme
f(a) + La(h) + o (llhll), où L a: E ~ Fest une application linéaire (linéaire et continue si E n'est pas suph-'>0
posé de dimension finie).
• Pour montrer qu'une application f : JE.
2
~ JE. qui admet en (0 ,0) des dérivées partielles premières n'est
pas différentiable en (0,0) , former f (h ,k) - (h af (0,0) + k af (0,0)) et montrer que cette expression ne tend
ax
ay
pas vers 0 lorsque le couple (h,k) tend vers (0,0).