Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
9.1.4
\ 'I \ E .et F sont des evn de dimensions
\J,..) finies.
C(E,F) désigne l'ensemble des
applications linéaires de E dans F.
Q Onsimplifiepart.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
..._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
506
Diff érentiabi 1 ité
Ce§ 9.1.4 peut être réservé pour une deuxième lecture. Il s'agit ici de définir la notion de différentielle dans un cadre p. lus général que celui des applications de classe C
1 envisagé en 9.1.3
p. 499.
Soient U un ouvert de E, a E U,f: U -----+ F. On dit que f est différentiable en a si
et seulement s'il existe La E .C(E, F) telle que, en notant Uo = {h E E; a+ h E U} :
Vh E Uo , f(a + h) = f(a) + L a (h) + o (ll hll).
h-->0
On dit que f est différentiable sur V si et seulement si f est différentiable en tout point
a de U.
Avec les notations de la Définition précédente, si f est différentiable en a, alors La
est unique. L'application La est appellé la différentielle de f en a ( ou : application
linéaire tangente en a à j) et notée da f.
Preuve
Supposons que deux applications linéaires La , Ma conviennent. On a alors:
1
f(a + h) = f(a) + La(h) + o C llhll)
h-->0
f(a+h)=f(a)+Ma(h)+ o (llhll)
h-->0
d'où : (La - M a)(h) = o (llh ll).
h-->0
Soit v E E - {0}. On a, pour t E lR : t(La - Ma )(v) =(La - Ma )(tv) = o (ltl) ,
1-->0
d'où (La - Ma)(v) = o (1) , (La - Ma)(v) = 0
puisque (La - Ma)(v) ne dépend pas
1--> 0
de t, et finalement La =Ma.
Si f est différentiable en a, on a donc :
f(a + h) = f(a) + (daf)(h) + o (llhll).
h-+0
Si f est différentiable en a, alors f est continue en a.
Preuve
Puisque daf est linéaire et continue (car E est de dimension finie), on a (da f)(h) ~ 0, et donc:
lz-->Ü
f(a + h) = f(a) + (da f)(h) + o(l lh ll) ~ f(a).
h-->0
Soient U un ouvert de E, a E U,f : U -----+ F. Si f est différentiable en a , alors, pour
tout v de E - {0}, f admet une dérivée en a suivant v.