9.1 • Dérivées partielles premières
Les méthodes à retenir
Dérivées partielles premières
• Pour étudier la continuité de f : ffi. 2 -----+ ffi. et l'existence et la continuité des dérivées partielles premières de
f, dans un exemple où l'expression def(x,y) varie suivant la position de (x ,y) (ex. 9.1.1, 9.1.2), commencer
par appliquer les théorèmes généraux sur un ouvert convenable. En le (ou les) points(s) litigieux, pour la continuité, voir la rubrique « Les méthodes à retenir » p. 495. En ce(s) point(s) litigieux, par exemple (0,0), pour l'existence de âf (0,0), former la fonction partiellef(., 0) , et voir sif(.,0) , qui est une fonction d'une variable réelle,
âx
d , · bl
o s· âf ·
l'
·d , ,
· · âf
·
,
·
,
est enva e en . i - existe sur ouvert cons1 ere, pour vorr s1 - est contrnue, on est ramene au pornt preâx
âx
cédent.
Ne pas oublier qu ' une fonction partielle, par exemplef(.,0), est une fonction d' une variable réelle, tandis qu' une
fonction dérivée partielle, par exemple âf, est une fonction de deux variables réelles.
âx
P
't d.
t
d'
·
t f (x) - f( y)
' f
f
·
d'
· bl ' Il
• our e u 1er un aux accro1ssemen
, ou est une onction une van a e ree e, x, y sont
x- y
variables et x # y (ex. 9.1.4), on peut envisager d'utiliser le théorème des accroissements finis (si f est dérivable
sur un intervalle contenant x et y) : il existe z entre x et y (donc z dépend de x et y) tel que :
f(x) - f(y) = f ' (z).
x - y
9.1.1 Pour les application s f : JR 2 ---+ lR suivantes, étudier la continuité de f, et l'existence et la continuité des
dérivées partie lles premières de f:
1
sin(x 3 ) - sin(y3)
a) f(x,y) =
x2 + y2
0
si (x ,y) =f. (0,0)
si (x ,y) = (0,0)
1
. y
x sm -
b) f(x ,y) =
~
Si X =f. 0
si x= 0
l
cos 2 x
c) f(x ,y) = co~2x + y2sin 2 x
•
JT
si y-=f. Oouxf/ 2
+n Z
sinon
d) f(x,y) = Max(lx l,lyl)
e) f(x,y) = Max(x 2 ,y 2 ).
9.1.2 Soient cp : lR ---+ lR de classe c 2 sur JR, telle que
cp(O) = 0 et cp"(O) =f. 0, et/: JR 2 ---+ lR définie par :
1
xcp(y) - ycp(x)
f(x,y) =
x2 + y2
0
si (x ,y) =f. (0,0)
si (x,y) = (0,0)
Montrer que f est continue sur JR 2 mais n'est pas de classe
c 1 sur JR 2 .
9 .1.3 Soient f : lR ---+ lR continue telle que /
1 (0) existe, et F : JR 2 ---+ lR définie par :
11xy
-
f (t) dt
F(x,y) = 1 x x
(y - 1)/(0)
Si X= 0
si x =f. O.
a) Montrer que F est de classe C 1 sur JR 2 .
b) Déterminer f pour que, pour tout y de JR , F (x,y) soit
indépendant de x .
9.1.4 Soit f : lR ---+ lR dérivable sur lR, g : JR 2 ---+ lR
définie par :
1
f (x) - f (y)
g(x,y)=
x-y
f'(x)
SÎ X =f. y
Si X= y.
Démontrer que g est continue sur JR 2 si et seul ement si f
est de classe C 1 sur lR .
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Les méthodes à retenir
Dérivées partielles premières
• Pour étudier la continuité de f : ffi. 2 -----+ ffi. et l'existence et la continuité des dérivées partielles premières de
f, dans un exemple où l'expression def(x,y) varie suivant la position de (x ,y) (ex. 9.1.1, 9.1.2), commencer
par appliquer les théorèmes généraux sur un ouvert convenable. En le (ou les) points(s) litigieux, pour la continuité, voir la rubrique « Les méthodes à retenir » p. 495. En ce(s) point(s) litigieux, par exemple (0,0), pour l'existence de âf (0,0), former la fonction partiellef(., 0) , et voir sif(.,0) , qui est une fonction d'une variable réelle,
âx
d , · bl
o s· âf ·
l'
·d , ,
· · âf
·
,
·
,
est enva e en . i - existe sur ouvert cons1 ere, pour vorr s1 - est contrnue, on est ramene au pornt preâx
âx
cédent.
Ne pas oublier qu ' une fonction partielle, par exemplef(.,0), est une fonction d' une variable réelle, tandis qu' une
fonction dérivée partielle, par exemple âf, est une fonction de deux variables réelles.
âx
P
't d.
t
d'
·
t f (x) - f( y)
' f
f
·
d'
· bl ' Il
• our e u 1er un aux accro1ssemen
, ou est une onction une van a e ree e, x, y sont
x- y
variables et x # y (ex. 9.1.4), on peut envisager d'utiliser le théorème des accroissements finis (si f est dérivable
sur un intervalle contenant x et y) : il existe z entre x et y (donc z dépend de x et y) tel que :
f(x) - f(y) = f ' (z).
x - y
9.1.1 Pour les application s f : JR 2 ---+ lR suivantes, étudier la continuité de f, et l'existence et la continuité des
dérivées partie lles premières de f:
1
sin(x 3 ) - sin(y3)
a) f(x,y) =
x2 + y2
0
si (x ,y) =f. (0,0)
si (x ,y) = (0,0)
1
. y
x sm -
b) f(x ,y) =
~
Si X =f. 0
si x= 0
l
cos 2 x
c) f(x ,y) = co~2x + y2sin 2 x
•
JT
si y-=f. Oouxf/ 2
+n Z
sinon
d) f(x,y) = Max(lx l,lyl)
e) f(x,y) = Max(x 2 ,y 2 ).
9.1.2 Soient cp : lR ---+ lR de classe c 2 sur JR, telle que
cp(O) = 0 et cp"(O) =f. 0, et/: JR 2 ---+ lR définie par :
1
xcp(y) - ycp(x)
f(x,y) =
x2 + y2
0
si (x ,y) =f. (0,0)
si (x,y) = (0,0)
Montrer que f est continue sur JR 2 mais n'est pas de classe
c 1 sur JR 2 .
9 .1.3 Soient f : lR ---+ lR continue telle que /
1 (0) existe, et F : JR 2 ---+ lR définie par :
11xy
-
f (t) dt
F(x,y) = 1 x x
(y - 1)/(0)
Si X= 0
si x =f. O.
a) Montrer que F est de classe C 1 sur JR 2 .
b) Déterminer f pour que, pour tout y de JR , F (x,y) soit
indépendant de x .
9.1.4 Soit f : lR ---+ lR dérivable sur lR, g : JR 2 ---+ lR
définie par :
1
f (x) - f (y)
g(x,y)=
x-y
f'(x)
SÎ X =f. y
Si X= y.
Démontrer que g est continue sur JR 2 si et seul ement si f
est de classe C 1 sur lR .
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