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504
Chapitre 9 • Fonctions de plusieurs variables réelles
Solution
Remarquer d'abord :
\l(x,y)EIR
2 , x
2 +/= 0 {::::::::} (x,y)=(O,O).
1) Continuité de l
• D'après les théorèmes généraux, lest continue sur IR
2 - { (0, 0)} .
•On a: ll(x,y)I ~ lx l -----+ 0,
(x,y)--> (0,0)
donc: l (x,y) -----+ 0 = l (0,0),
(x.y) --> (0,0)
ce qui montre quel est continue en (0,0).
On conclut : lest continue sur IR
2 .
2) Existence des dérivées partielles premières
• D'après les théorèmes généraux, les deux dérivées partielles premières del existent sur IR
2 - {(0,0)} et on a, pour tout (x,y) E IR
2 - {(0,0)} :
• L'application partielle lCO) : IR -----+ IR, x f-----+ x est dérivable en 0 et
(JC·,O))'(O) = 1, donc l;CO,O) existeetf: co,O) = 1.
• L'application partielle 1(0,·): IR-----+ IR, y f-----+ 0 est dérivable en 0 et
{JC0,·))
1
(0) =0, doncl; co,O) existeetl;co,O) =0.
On conclut : l admet en tout point de IR
2 , des dérivées partielles premières et on a,
pour tout (x,y) E IR 2 :
si (x,y) =/:- (0,0)
si (x,y) = (0,0)
si (x,y) =/:- (0,0)
si (x,y) = (0,0).
3) Continuité des dérivées partielles premières
• D'après les théorèmes généraux, l; et l; sont continues sur IR
2 - { (0,0)} .
•On a: l; (0 ,y) = 0 -----+ 0 =/:- l; (0,0) = l , donc l; n'est pas continue en (0,0).
y-> 0
I
2x4
I
•On a: l Y(x,x) = - - 4 = -2 -----+ -2 =/:- l/0,0) = 0, donc l; n'est pas contix
X-> 0
nue en (0,0).
On conclut : l; et l; sont continues sur IR
2 - { (0,0)} et ne sont pas continues en
(0,0).
Conseils
La dérivée partielle J; (0,0) est, sous réserve
d'existence, (! ( ·, 0) )' (0).
On pouvait aussi remarquer, dès le début,
que, d'après les théorèmes généraux, f est
de classe C 1 sur l'ouvert JR 2 - ((0,0)).