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9.1.3
Cette définition généralise celle
d' Analyse MPSI, 11.3.2 1 ).
Cas particulier : différentielle d'une
application linéaire.
'\j Ainsi,dxj estla/me projection.
~ Formule importante pour la pratique.
9.1 ·Dérivées partielles premières
Si f est de classe C
1 sur un ouvert U de JRP , alors f est continue sur U.
Preuve
D'après la Proposition précédente :
P
af
f(a + h) = f(a) + L )j-(a) + o(llhll) ~ f(a).
j= 1 ax;
h---+0
•
Différentielle d'une application de classe c
1
1) Généralités
Soient U un ou vert de JRP, a E U ,f : U -----+ JRn de classe C 1 sur U. On appelle différentielle de f en a (ou : application linéaire tangente à f en a) l'application
linéaire notée da f définie par :
Toute application linéaire

l da

Preuve
Notons (e1,. .. ,ep) la base canonique de IRP, et soit a E U.
On a, pour tout j de { 1, ... , p}, puisque

V t E IR*,
1
- (rp(a + tej) - rp(a)) = rp(ej),
t
donc rp admet des dérivées partielles premières en a et: Djrp(a) = rp(ej).
D'où, pour tout h = (h 1 ,. .. ,hp) de IRP :
et donc da

•
)
Les remarques sur les notations formulées dans Analyse MPSI § 11.3.2 1), sont ici aussi valables.
Pour j E { 1, ... , p}, la jème projection prj : IRP --+ IR est notée abusivement Xj, d'où
(x1 , ... ,Xp)f--Hj
da prj = daXj : IRP --+ IR .
(h1,. .. , hp) ~ hj
Comme la différentielle daXj ne dépend pas de a, on la note dxJ.
Si f : U --+ IR" est de classe C 1 sur U, on a alors :
Va EU,
p âf
daf = L: -(a)dxj.
j= J ÔXj
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